wykaż nierówność Ann: wykaż, że dla dowolnych a, b, c zachodzi nierówność a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a+b+c) mógłby mi ktoś pomóc udowodnić tę nierówność ? czy należy skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną ? od czego wyjść ?

wmboczek: a⁴−2a²b²+b⁴+a⁴−2a²c²+c⁴+c⁴−2c²b²+b⁴≥0 zatem L=a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+a²c²+b²c² a²b²−2a²bc+a²c²+a²b²−2ab²c+b²c²+c²b²−2abc⁺a²c²≥0 zatem a²b²+a²c²+b²c²≥a²bc+ab²c+abc²=P

jc: Przepiszę dowód wmboczka po swojemu Wielokrotnie korzystamy z nierówności x² + y² ≥ 2xy wynikającej z nierówności (x−y)² ≥ 0. 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = (a⁴ + b⁴) + (b⁴ + c⁴) + (c⁴ + a⁴) ≥ 2 a² b² + 2 b² c² + 2 c² a² = a² (b² + c²) + b² (c² + a²) + c² (a² + b²) ≥ 2 a² bc + 2 b² ca + 2c² ab = 2 abc (a+b+c) Na koniec dzielimy obie strony przez 2.

Ann: a można trochę jaśniej kochani ?

PW: To jest jasno, tylko w oczach się mieni. Spróbuj metodą ratunkową: − Jeżeli któraś z liczb a, b, c jest zerem, to badana nierównośc jest prawdziwa w sposób oczywisty. − Jeżeli a, b, c nie są zerami, to oznaczyć b = pa, c = qa i spróbować spojrzeć na badaną nierówność po takim podstawieniu. Nie wiem, czy będzie jaśniej, ale na pewno będą już tylko dwie niewiadome.

jc: Kilka razy stosujemy nierówność x² + y² ≥ 2 xy. Dowód powyższej nierówności: 0 ≤ (x − y)² = x² − 2xy + y² ⇒ x² + y² ≥ 2xy A teraz stosujemy: a⁴ + b⁴ ≥ 2 a² b² (postawiłem x = a², y = b²), b⁴ + c⁴ ≥ 2 b² c² c⁴ + a⁴ ≥ 2 c² a² dadając stronami dostajemy 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) ≥ 2(a² b² + b² c² + c² a²) b² + c² ≥ 2 bc (teraz x = b, y = c) mnożę przez a² a² (b² + c²) ≥ 2 a² b c, podobnie uzyskuję 2 dalsze nierówności b² (c² + a²) ≥ 2 b² c a c² (a² + b²) ≥ 2 c² a b dodając stronami uzyskujemy a² (b² + c²) + b² (c² + a²) + c² (a² + b²) ≥ 2( a² bc + b² ca + c² ab) Reszta to prace porządkowe.