[Dowód] Podzielność n^2 - 2 przez 4. Michau: Wykazać, że jeśli n należy do liczb naturalnych to liczba n² − 2 nie jest podzielna przez 4.

kochanus_niepospolitus: n²−2 1) niech n = 4k+1, k∊N (czyli przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1) (4k+1)² − 2 = 16k² + 8k − 1 <−−− to nie jest podzielne przez 4 (wiesz dlaczego?) Analogicznie dla n= 4k+2, n=4k+3, oraz n=4k

Michau: Domyślam się, że chodzi o to, że ten dwumian przy dzieleniu przez 4 daje liczbę jeden. Mam rację?

kochanus_niepospolitus: a raczej ... resztę −1 czyli daje resztę 3 wystarczy, że 16k² podzielne przez 4 ; 8k podzielne przez 4 ; −1 nie jest podzielne przez 4 ... więc 16k² + 8k − 1 NIE BĘDZIE podzielne przez 4

Benny: @kochanus a czy nie wystarczy informacja, że aby dana liczba dzieliła się przez 4 to musi być ona parzysta? Mamy wtedy, że n=2k, ponieważ tylko parzyste podniesione do kwadratu są parzyste. Więc to wyrażenie jest postaci 4k²−2, a więc nie dzieli się przez 4.

kochanus_niepospolitus: Benny ... i owszem (w tym przypadku) ale dla n=4k+2 będziesz miał liczbę parzystą

kochanus_niepospolitus: Benny −−− oczywiście ... tylko Michał wtedy jeszcze musi wykazać, że jeżeli n jest nieparzysta to n² także będzie liczbą nieparzystą (co nie jest trudne)

Benny:

Michau: Super, dziękuje serdecznie. A możesz jeszcze wyjaśnić o co chodzi z resztą. Wiem, że reszta musi być zawsze dodatnia, na zwykłych liczbach, łatwą ja wyznaczyć. Jednak tu mam problem.

Metis: A jak będzie wyglądał dowód nie wprost?

Mila: Przypuszczamy , że n²−2 jest podzielne przez 4⇔ n²−2=4k, gdzie k∊C Teraz rozważ 2 przypadki : 1)n− parzyste 2) n − nieparzyste. Kontynuuj.

Metis: n²−2=4k n²=4k+2 4k+2 − pewna liczba która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2. Nie wiem czy o to chodzi ?

Mila: Nie, ale teraz muszę skończyć . Będę po 20.

Mila: 1) n=2m, m∊N (2m)²−2=4k 4m²−2=4k sprzeczność − lewa strona ma resztę z dzielenia przez 4 równą 2, a prawa jest podzielna przez 4. 2) n− nieparzyste n=2m+1 (2m+1)²−2=4k 4m²+4m−1=4k sprzeczność− lewa strona ma resztę z dzielenia przez 4 równą 3, a prawa jest podzielna przez 4. liczba n²−2 nie jest podzielna przez 4.

Metis: Milu a skąd ta reszta równa 3 w 2) ? Nie widzę jakoś tego.

Mila: Reszta z dzielenia przez 4 może być równa : 0,1,2,3 z dodatnimi nie ma problemu: 11:4=2+ reszta 3, bo 11=2*4+3 Z ujemnymi jest tak. −1=4*(−1)+3 reszta z dzielenia przez 4 jest równa 3 −6=4*(−2)+2 reszta z dzielenia przez 4 jest równa 2 Albo tak : −1:4=0+r(−1) −1+4=3 −6:4=−1 +r (−2) −2+4=2 reszta

Mila: https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85

Metis: Jasne Dziękuje