Oblicz całkę martex: Mam taką oto całkę: ∫(x²+2)/(x³−1) Jak ją rozwiązać poprzez rozkład na ułamki proste...Pomóżcie...potrzebuje tylko zacząć Dalej sobie poradzę

Jerzy: Przekształć licznik, aby był pochodną mianownika

kochanus_niepospolitus: x³ − 1 = x³ − 1³ = (x−1)(x²+x+1) // (ze wzoru a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Jerzy:

	3x2		dx
Ale wcześniej...= 1/3∫		dx + 2/3∫
	x3 − 1		x3 − 1

kochanus_niepospolitus: Jerzy ... to wcale nie ułatwi sprawy

	dx
∫		nie jest szczególnie przyjemna
	x3−1

i może faktycznie x²+x+1 w mianowniku będzie przyjemniejsze zwłaszcza że w tedy mamy f' = 2x+1

	3
natomiast x2+x+1 można przerobić w (x + 1/2)2 +
	2

kochanus_niepospolitus:

	3
miało być
	4

martex: skąd 2/3 przed drugą całką?

martex: poradzę sobie z całką dx/x³−1 Już ją liczyłam...

Jerzy: x² + 2 = 1/3(3x² + 2/3)

martex: no tak...chyba za dużo już tego liczę...bo najprostszych rzeczy nie widzę...Dziękuje

martex: jeszcze jedno pytanie Dlaczego nie mogę tej całki rozwiązać w ten sposób:

	(x2+2)		Adx		Bx+C
∫		dx=∫		+∫
	(x3−1)		x−1		x2−x+1

Jerzy: Też możesz

Jerzy: Popraw drugi mianownik

martex: no właśnie tak rozwiązywałam i mi nie wyszło...natomiast po przekształceniu licznika do pochodnej mianownika(według wskazówki) wynik jest ok

martex: błąd w zapisie x²+x+1

Jerzy: Czasami postacie wyniku całki nico się różnią zróżniczkuj wynik i sprawdż

martex: x²+2=A(x²+x+1)+(Bx+C)(x−1) x²+2=Ax²+Ax+A+Bx²−Bx+Cx−C A+B=1 A−B+C=0 A−C=2 A=1 B=0 C=−1

jc:

x2+ 2		(x2+x+1) − (x−1)		1		1
	=		=		−		=
x3−1		(x−1)(x2+x+1)		x−1		x2+x+1

1		1
	−
x−1		(x+1/2)2 + 3/4

	2		2x+1
∫ = ln |x−1| −		arctg
	√3		√3

martex: też mi tak wychodzi ale według odpowiedzi powinno wyjść: ¹₃ln|1−x³|−¹₃ln|x²+x+1|+²₃ln|1−x|−^2√3₃arctg(^2x+1_√3)

martex: jeszcze raz

1		1		2		2√3		2x+1
	ln|1−x3|−		ln|x2+x+1|+		ln|1−x|−		arctg(		)
3		3		3		3		√3

jc: To samo, tylko dziwnie zapisane 1/3 ln |1−x³| − 1/3 ln (x²+x+1) + 2/3 ln |1−x| = 1/3 [ ln |1−x| + ln (x²+x+1)] − 1/3 ln(x²+x+1) + 2/3 ln |x−1| = = ln |x−1|

martex: faktycznie....dziękuje