Zbieżność Benny: Zbieżność całki:

	lnsinx
0∫π/2		dx
	√x

Tak sobie pomyślałem, że skoro lnsinx jest zawsze ≤0 to możemy go z góry ograniczyć każdą funkcją nieujemną. Czy takie coś zadziała:

1
	≥lnsinx
x3/2

1		lnsinx
	≥
x2		√x

	1		−1
∫		dx=		+C i na tym przedziale będzie zbieżna. Ograniczenie takie, aby ładnie
	x2		x

wyszło. Czy to jest poprawne?

Godzio: ln(sinx) ≤ 0 Idąc Twoim tokiem rozumowania:

	1		1
∫0∞(−		)dx, ograniczam sobie −		≤ 0
	x		x

	1
∫0∞0 = 0 −− zbieżne,, ale ∫0∞(−		)dx, rozbieżna
	x

Benny: No właśnie wydawało mi się to trochę absurdalne

jc: Rozpatrujemy przedział (0: π/2] sin x ≥ 2 x / π 0 ≥ ln sin x ≥ ln (2x/π)

	ln sin x		ln (2x/π)
0 ≥		≥
	√x		√x

Całka z funkcji po prawej stronie jest do policzenia, i jak mi się wydaje jest zbieżna. Sprawdź! Mogę się mylić. Jeśli tak, to Twoja całka też jest zbieżna.

Benny: Tak ta całka ma być zbieżna, dzięki! Zastanawiam się kiedy dojdę do wprawy, żeby samemu takie nierówności sobie wymyślać. Czy niektóre nierówności mają coś wspólnego z rozwijaniem funkcji w szereg?

g:

	ln x
Widać, że wystarczy zajmować się całką ∫0ε		, gdzie ε to jakaś mała dodatnia
	√x

liczba.

	ln x		ln x * x0,4
Funkcja podcałkowa f(x) =		=
	√x		x0.9

Pochodna mianownika to (ln x * x^0,4)' = x^−0,6(1+0,4*ln x). Ta pochodna dla odpowiednio małych x jest ujemna. Oznacza to, że idąc od tego małego x w kierunku zera moduł mianownika maleje. Można zatem moduł mianownika ograniczyć od góry jakąś stałą C i problem sprowadza się do zbieżności całki ∫₀^ε x^−0,9 dx, a ta całka jest zbieżna.

Benny: Podoba mi się ten pomysł z ε. Czy jeśli zmienimy tylko licznik to nie będzie aż tak dużej

	lnx
różnicy? Co do całki z f(x)=		to ona sprowadza się do policzenia całki z
	√x

f(x)=2lnx²