Zbieżność całki Benny: Przy całce niewłaściwej natknąłem się w odpowiedzi na dziwną wskazówkę.

	xarctgx		xarctgx		xarctgx
0∫∞		dx=0∫1		dx+1∫∞		dx≥
	3√1+x4		3√1+x4		3√1+x4

	xarctgx		π		dx
≥0∫1		dx+		1∫∞
	3√1+x4		3√24		3√x

Skąd takie dziwne oszacowanie? Jakiś lepszy pomysł na sprawdzenie zbieżności?

g: Jeśli badamy zbieżność całki ∫₀^∞ z nieujemnej funkcji f(x) i wiadomo, że całka ∫₀^T jest skończona dla każdego T>0, to wystarczy badać zbieżność całki ∫_T^∞. Przyjęcie odpowiednio dużego T upraszcza wymyślenie ograniczającego wyrażenia podcałkowego g(x), tak aby móc napisać nierówność: ∫_T^∞ f(x) dx ≤ ∫_T^∞ g(x) dx (gdy dowodzimy zbieżności i wiadomo że całka z g(x) jest zbieżna) lub ∫_T^∞ f(x) dx ≥ ∫_T^∞ g(x) dx (gdy dowodzimy rozbieżności i wiadomo że całka z g(x) jest rozbieżna) W tym zadaniu podejrzewam, że całka jest rozbieżna, więc robię takie oszacowanie: dla odpowiednio dużego T i x >= T: 1) x arctg x ≥ x/2 2) ³√1+x⁴ ≤ 2x^4/3 czyli że dla x ≥ T: g(x) = 1/4 x^−1/3 ≥ f(x). Całka ∫_T^∞x^−1/3dx jest rozbieżna, więc całka z f(x) też.

Benny: Dzięki bardzo. Wiesz może skąd takie ograniczenie z tym π?

Godzio: Można by było zrobić też z kryterium ilorazowego porównując z funkcją

	x		1
g(x) =		=
	x4/3		x1/3

	π
Granica ilorazu jest równa		, stąd zbieżność zależy od zbieżności całki
	2

	1
∫0∞		dx
	x1/3