Pochodne ekstrema Marian : Określ liczby ekstremów funkcji f(x)=x⁴+4x³+8m²x²−2m w zależności od wartości parametru m. Nie rozumiem tylko dlaczego dla m=0 funkcja ma jedno ekstremum ( tak jest w odpowiedzi) mógłby ktoś wyjaśnić?

Jerzy: Dla m = 0 mamy: f(x) = x⁴ + 4x³ i f'(x) = 4x³ + 12x² f'(x) = 0 ⇔ x²(4x + 12) = 0 i pochodna zmienia znak tylko w punkcie x = − 3

ICSP: Gdyż dla m = 0 pochodna w otoczeniu punktu stacjonarnego x = 0 jest nieujemna, więc w tym punkcie nie ma ekstremum tylko punkt przegięcia. Ekstremum będzie w drugim punkcie stacjonarnym.(x = −3)

PW: Dla m = 0 funkcja określona jest wzorem: f(x) = x⁴ + 4x³ f(x) = x³(x + 4). Wielomian ten ma dwa miejsca zerowe: x₁ = − 4 i x₂ = 0. Dla x < − 4 oraz dla x > 0 przyjmuje wartości dodatnie i jest na tych przedziałach nieograniczony. Na przedziale (− 4, 0) f'(x) = 4x³ + 12x² = 4x²(x + 3), x∊(− 4, 0) f'(x) = 0 ⇔ x = − 3, x∊(− 4, 0) zgodnie z warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcja f może więc mieć co najwyżej jedno ekstremum (w punkcie x₀ = − 3). Dlaczego to ekstremum istnieje? Można uzasadnić dwojako: 1° spełniony jest warunek dostateczny istnienia ekstremum 2° wielomian jest funkcją ciągłą na przedziale <− 4, 0> i przyjmuje w nim wartości niedodatnie, ma zatem na tym przedziale minimum będące liczbą ujemną.

Marian : Rozumiem, dzięki

PW: Przepraszam, nie widziałem odpowiedzi Kolegów przedmówców, nie odświeżyłem strony w porę

ICSP: Zawsze mogę swoją usunąć

PW: Uzyskałeś takie uprawnienia? Czasami miałbym ochotę usunąć swoje głupoty, ale nie potrafię.

Jerzy: Nie przepraszaj PW , bo na prawdę nie ma za co

ICSP: Tak, posiadam możliwość kasowania postów.