funkcje całki pochodne meeed: 1. Wykazać ze funkcja f (x)= lnx jest ciągła w przedziale od x>0 2. Udowodnić ze jeśli f i g maja pochodne w punkcie x to wówczas zachodzi (f (x)×g (x))'= f'(x)g (x)+f (x)g'(x) 3. Wykazać ciągłość funkcji f (x)=cosx 4.Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f (x)=ln x 5.Calka oznaczona funkcji f w przedziale <a,b>

meeed: pomóżcie ..

Benny: 4.

	ln(x+h)−lnx		x+h
limh→0		=limh→0ln(		)1/h=
	h		x

	h		1		1
=limh→0ln(1+		)(x/h)*1/x=		lne=
	x		x		x

meeed: dziękuje

g: 2.

	f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)
(f(x)g(x)) ' = limh→0
	h

Dalej trzeba skorzystać z przybliżenia lim_h→0f(x+h) = f(x) + f '(x)*h, które jest przekształconą definicją pochodnej. Wstaw to do pierwszego równania i na koniec pomiń wyraz z h².

meeed:

meeed:

meeed:

jc: 2.

f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)		f(x+h) − f(x)		g(x+h) − g(x)
	=		g(x+h) + f(x)
h		h		h

f(x+h) − f(x)
	→ f'(x)
h

g(x+h) − g(x)
	→g'(x)
h

g(x+h) →g(x) (funkcja rówżniczkowalna jest ciągła) 3. |sin x | ≤ |x|

	x+y		x−y
|cos x − cos y| = 2 | sin		| | sin		| ≤ |x − y|
	2		2

to wystarczy, mamy nawet więcej.

g: 2. Rozwiązanie jc bardziej mi się podoba od mojego, ale mam przy okazji wątpliwość − granicę iloczynu potraktowaliśmy jak iloczyn granic:

	f(x+h) − f(x)
lim		* lim g(x+h)
	h

Kiedy tak można, a kiedy nie można? Dla przykładu jeśli by od początku tak zrobić:

lim f(x+h) * lim g(x+h) − f(x)g(x)
h

to dostalibyśmy zero.

kochanus_niepospolitus: ∫_a^b lnx dx = [x*lnx − x]_a^b = b(lnb −1) − a(lna − 1)

jc: g, zwróć uwagę na h w mianowniku! Jeśli f(x) →a, g(x) →b, to f(x)g(x) →ab. Ważne są założenia, tzn. obie granice powinny istnieć.

g: zgoda, tego co jest w liczniku nie można traktować w oderwaniu od mianownika.