Całka Benny: Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:

	x2
x2+y2=8, y=
	2

Dwa punkty przecięcia −2 i 2 Tylko mam pewien dylemat. Jak liczę całkę: ∫√8−x²dx=|x=2√2sint, dx=2√2cost|=8∫cos²tdt=4t+2sin2t+C Zastanawiałem się jak będzie teraz z granicami całkowania oraz jak to ładnie zapisać

jc: ∫₋₂² √8−x² dx Narysuj. To 1/4 koła o promieniu 2√2 uzupełnionego dwoma trójkątami o łącznym polu 4. Razem 8π/4 + 4 = 3 π + 4.

Benny: Jakoś nie bardzo ogarniam o co Ci chodzi.

jc: Literówka 8/4 = 2, a nie 3. Całka oznaczona, to pole pod wykresem. Jak widać ile wynosi, to po co liczyć? Ale jak już policzyłeś, to policz do końca. F(t) = 4t + 2 sin 2t F(3π/4) − F(π/4) = 2 π + 4.

Benny: Coś mi nie pasuje. Po pierwsze to nie wiem o jakie trójkąty Ci chodzi. Po drugie wiem, że całka

	3		π
oznaczona to pole. Po trzecie: dlaczego		π oraz		. Sinus ma tą samą wartość dla
	4		4

	3		π		4
		π i		. Odpowiedź to 2π+		.
	4		4		3

jc: No dobrze, po kolei. Prawidłowy wynik to tak, jak napisałem 2 π + 4. Po parablola jest 8/3. A więc pomiędzy krzywymi wynosi 2 π − 4/3. Powtórzę. Narysuj i zobaczysz polę pod fragmentem łuku okręgu. Drugi mój rachunek jest błedny tak, podobnie jak Twoja całka. t = sin x, t zmienia się od π/4 do 3π/4. Niestety w tym obszarze cos t zmienia znak (począwszy od π/2 jest ujemny). Dlatego musimy zachować moduł. √cos² t = |cos t|. Całkę najlepiej rozbić na dwie całki (druga = pierwsza). całka = 2 ∫_π/4^π/2 ... dt = 2 [ 4t + 2 sin 2t]{π/4]^π/2 = 2 π + 4.

jc: Pokręciłem trochę z tymi kątami. Głupoty napisałem Zapomnij o poprzednim wpisie. Po prostu nie myslałem o podstawieniu, tylko o obrazku. x =2 √2 sin t t zmienia się od −π/4 do π/4. Teraz [4t + 2 sin 2t]_−π/4^π/4 = 2π + 4. Nie problemu z cos t. W tym obszarze jest dodatni. Pole pomiędzy krzywymi = ∫₋₂² (√8−x² − x² /2) dx = (2 π + 4) − 8/3 = 2π + 4/3. A co do pola pod łukiem okręgu, to i tak namawiam na odczytania z obrazka.

Benny: Twierdzisz, że ile to czerwone pole jest równe?

Benny:

	1
Ok nie widziałem nowego wpisu. Pomyślałem, że można policzyć		pola koła oraz dodać to
	4

pole czerwone, które można policzyć łatwo, bo jest ono ograniczone prostą y=x oraz tą parabolą. Dzięki

jc: Masz świetny pomysł Do wycinka koła π r² / 4 = 2 π dodajemy czerwone kawałki. Pole pod parabolą = 8/3 (tu już trzeba całkować). Pole pod przerywanymi liniami = 4. Różnica = czerwone kawałki = 4 − 8/3 = 4/3.