całki zuzia ^^: Oblicz całkę ∫ sin² x coc⁴ x dx

ICSP: Albo zacznij od znalezienia określenia rekurencyjnego na całke ∫cosⁿ(x) dx

ICSP: albo wzory Eulera na sinx oraz cosx

ICSP:

	1 + cos2x
albo wzór cos2x =		zastosowany kilkakrotnie.
	2

ICSP: Wybierz sobie

jc: Wybieram 2 sposób (choć każdy pewnie tak samo dobry). sin² x cos⁴ x = − (cos 6x + 2 cos 4x − cos 2x − 2)/32

ICSP:

zuzia ^^: Nwm co tu się wgl podziało ale dziekuje

Mariusz: ∫sin²(x)cos(x)⁴dx=∫(1−cos²(x))cos⁴(x)dx =−∫cos⁶(x)dx+∫cos⁴(x)dx ∫cos⁶(x)dx=∫cos(x)cos⁵(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)sin²(x)dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)(1−cos²(x))dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)dx−5∫cos⁶(x)dx 6∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)dx

	1		5
∫cos6(x)dx=		sin(x)cos5(x)+		∫cos4(x)dx
	6		6

	1		5
−∫cos6(x)dx=−		sin(x)cos5(x)−		∫cos4(x)dx
	6		6

	1		1
−∫cos6(x)dx+∫cos4(x)dx=−		sin(x)cos5(x)+		∫cos4(x)dx
	6		6

∫cos⁴(x)dx=∫cos(x)cos³(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)sin²(x)dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)(1−cos²(x))dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx−3∫cos⁴(x)dx 4∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx

	1		3
∫cos4(x)dx=		sin(x)cos3(x)+		∫cos2(x)dx
	4		4

∫cos²(x)dx=∫cos(x)cos(x)dx=sin(x)cos(x)+∫sin²(x)dx ∫cos²(x)dx=∫cos(x)cos(x)dx=sin(x)cos(x)+∫(1−cos²(x))dx ∫cos²(x)dx=∫cos(x)cos(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx−∫cos²(x)dx 2∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx

	1
∫cos2(x)dx=		(sin(x)cos(x)+x)+C
	2

	1
∫cos4(x)dx=		(2sin(x)cos3(x)+3sin(x)cos(x)+3x)+C
	8

	1		1
−∫cos6(x)dx+∫cos4(x)dx=−		sin(x)cos5(x)+		(2sin(x)cos3(x)
	6		48

+3sin(x)cos(x)+3x)+C

	1
−∫cos6(x)dx+∫cos4(x)dx=−		(8sin(x)cos5(x)−2sin(x)cos3(x)−3sin(x)cos(x)−3x)+C
	48

jc: Mariusz, A nie prościej przekształcić, a potem całkować? sin² x cos⁴ x = − (cos 6x + 2 cos 4x − cos 2x − 2)/32 ∫sin² x cos⁴ x dx = − ∫(cos 6x + 2 cos 4x − cos 2x − 2)/32 dx = = − (sin 6x) /192 − (sin 4x) /64 + (sin 2x) /64 + x /16