Udowodnij Senea: Udowodnij, że jeżeli różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb pierwszych jest liczbą pierwsza, to suma kwadratów tych liczb również jest liczbą pierwsza

Rafal44: Niech p i q będą tymi liczbami pierwszymi (p>q). Wówczas liczba p³−q³=(p−q)(p²+pq+q²) jest liczbą pierwszą. Liczby (p−q) i (p²+pq+q²) są liczbami całkowitymi, czyli dzielą liczbę (p³−q³). Dowolna liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ma jedynie dwa dzielniki: jeden i siebie samą. Wobec tego dokładnie jedna z liczb (p−q) i (p²+pq+q²) jest równa jeden, przy czym drugi przypadek oczywiście odpada. W konsekwencji p−q=1 i p=q+1 i któraś z liczb p i q dzieli się przez 2. Jedyną liczbą pierwszą podzielną przez 2 jest właśnie 2, stąd p=2 i q=1 (sprzeczność, gdyż 1 to nie liczba pierwsza) lub p=3 i q=2. Ostatecznie p³−q³=27−8=19, 19 to liczba pierwsza. To kończy dowód,

Rafal44: Zapomniałbym, suma kwadratów tych liczb wynosi 13 (13 to liczba pierwsza).

Senea: dziekuje bardzo

Rafal44: Tak szczerze, założenie o kolejności tych liczb pierwszych jest niepotrzebne...