Każdy niepusty podzbiór |R ma minimum i maksimum. Przemysław: A⊂|R, A≠∅, A skończony pokazać, że A ma minimum i maksimum. Dla maksimum myślałem o lemacie Kuratowskiego−Zorna (i dla minimum można wtedy podobnie tylko dla odwrotnej nierówności), ale to nie ma sensu, bo sprowadzałoby się chyba do podania tego maksimum. Proszę o pomoc

jc: Indukcja

Przemysław: No jest to jakiś pomysl ale czy to nie bedze dowód dla "zbyt malej nieskończoności"?

Przemysław: Zauważ, że chodzi o podzbiory |R a nie o podzbiory |N.

jc: Indukcja wzlędem liczby elementów A (rozpatrywane podzbiory są skończone). 1. Jeśli A składa się z jednego elementu, to jedyny ten jedyny element jest maksymalny. 2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszelkich podzbiorówn n−elemntowych. Weźmy podzbiór A (n+1)−elementowy. Odłóżmy dowolny element. Pozostanie zbiór n−elementowy. Mamy w nim element maksymalny. Porównajmy go z odłożonym elemntem. Wiekszy z nich jest maksymalnym elemententem w całym A. (jest jedno słabe miejsce w dowodzie − gdzie?)

Przemysław: Faktycznie − to jakoś powinno pójść. Co mnie męczy to to, że trzeba jakoś wybrać ten dowolny element odkładany, ale to nie powinien być problem? Co do słabego miejsca, to nie uwzględniłeś przypadku, gdy nie ma większego (z ostatniej linijki dowodu), ale wtedy można wybrać dowolny z nich dwóch jako maksymalny. Więcej problemów nie widzę − być może coś przeoczyłem

jc: Właśnie wybór odkładanego elementu mnie niepokoi. Może to większy problem od istnienia maksimum?

Przemysław: Wybór tego elementu ze zbioru A. No to może najprościej będzie wziąć rodzinę B={A} i teraz dla niej istnieje zbiór C, nazywany selektorem, że A∩C={x} (aksjomat wyboru) no i ten x to wybrany element?

Przemysław: To by gwarantowało, że da się dokonać wyboru, a nam więcej nie potrzeba.

g: A co ze zbiorem punktów na odcinku (0,1)? On nie ma ani minimum ani maksimum. Może coś źle rozumiem.

Przemysław: Nie jest skończony.

g: Aha, czyli skończoność zbioru oznacza prawdopodobnie, że jego moc jest skończona. Jeśli tak to można jego elementy ponumerować od 1 do n i zastosować jeden krok sortowania bąbelkowego, t.zn.: 1) porównać elementy a1 i a2, zamienić miejscami jeśli a1 > a2. Przy zmianie element a1 dostaje indeks 2 i odwrotnie. 2) powtarzamy procedurę dla a2, a3, 3) itd. aż do a[n−1], an. W wyniku tej procedury element an na pewno będzie większy od każdego innego elementu tego zbioru (albo nie mniejszy jeśli dopuszczamy ai=aj). Analogiczna procedura może wyłonić element najmniejszy. Przy okazji, czy teoria zbiorów dopuszcza zbiór {a,a}? T.zn. czy element może należeć kilka razy?

Przemysław: Skończoność to tak: moc jest skończona. Można napisać, że A skończony <=> ∃ n∊|N: |A|=n Co do {a,a} z tego co na wiki jest wynika, że zapis {a,a} jest dopuszczalny zaś {a,a}={a} Co do algorytmu to niby tak jest... może to jest w sumie dowód, bo podajemy metodę znalezienia tego elementu maksymalnego. I teraz z definicji on jest niemniejszy od każdego z pozostałych. Jakoś tak mi się to trochę nie podoba, ale nie wiem do końca czemu. Jakoś mało formalne się wydaje Ale chyba jest dobrze

Przemysław: Jeszcze co do 19:49 to nawet jak ktoś nie lubi aksjomatu wyboru, to z tego co mi wiadomo aksjomat wyboru dla skończonych rodzin (a nasza jednoelementowa jest bardzo skończona) wynika z ZF (ale jak, to tego nie wiem).

Przemysław: W każdym razie, dziękuję za pomoc