Udowodnij indukcyjnie Majkel: Witam. Mam problem z pewnym zadaniem. Treść: Udowodnij indukcyjnie, że dla n ≥ 5 zachodzi 2ⁿ > n² Podstawiam pod n liczbę 1. Zatem: 2⁵ > 5² 32 > 25 Warunek spełniony. Podstawiam k+1. Czyli: 2^k+1 > k+1² 2^k+1 > (k+1)(k+1) 2^k+1 > k² +2k +1 No i tutaj mam problem gdyż nie wiem jak "skończyć" to zadanie. Powinienem liczyć deltę? W którym momencie dowód jest skończony?

PW: Piszesz "Podstawiam pod n liczbę 1", a podstawiasz 5. I tak jest poprawnie , bo twierdzenie ma być prawdziwe począwszy od n = 5. Założenie indukcyjne pominąłeś, powinno być napisane, że zakładamy prawdziwość twierdzenia dla n = k ≥ 5. Dalej nie "podstawiam k+1", lecz formułujemy tezę indukcyjną, która brzmi: Dla n=k+1 twierdzenie jest prawdziwe, to znaczy 2^k+1 > (k+1)². Dowód indukcyjny. 2^k+1 = 2·2^k > 2·k² (w tym momencie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego). Liczba 2·k² jest większa od (k+1)² przy założeniu, że k≥5. Wynika to z rozwiązania nierówności 2k² > (k+1)² 2k² > k² + 2k +1 k² − 2k − 1 > 0

	2+2√2
Δ = 8, √Δ = 2√2, k2 =		= 1 + √2 − dodatnimi rozwiązaniami nierówności są
	2

wszystkie k > 1+√2, w tym wszystkie liczby naturalne k ≥ 5. Pokazaliśmy, że z założenia indukcyjnego wynika (przy założeniu k≥5) prawdziwość nierówności 2^k+1 > (k+1)², to znaczy teza indukcyjna.

Majkel: Podstawiłem 5 świadomie, po prostu pomyliłem się pisząc zadanie Natomiast nie rozumiem prawej strony dowodu indukcyjnego. Skąd wzięliśmy 2*k² ? To nasze założenie na które powinienem wpaść? Czy wynika ono z zadania?