Godzio:
sin(cos(x)) − cos(sin(x)) =
| | cosx+ sinx | | π | | sinx − cos(x) | | π | |
= − 2sin(− |
| + |
| ) * sin( |
| + |
| ) |
| | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
Zbiorem wartości funkcji sinx + cosx i sinx − cosx jest przedział <−
√2,
√2>
(jak nie wiadomo skąd to pozostawiam jako proste zadanie)
Najmniejszą / największą wartością jaką może przyjąć funkcja
| | cosx+ sinx | | π | | sinx − cos(x) | | π | |
− |
| + |
| oraz sin( |
| + |
| ) jest |
| | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | √2 | | π | | √2 | | π | |
− |
| + |
| / |
| + |
| |
| | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
Co w przybliżeniu jest równe: ≈ 0.07 / 1.49
0 < sin(x) < 1 dla x ∊ (0,π)
a 0.07 > 0 oraz 1.49 < π stąd
| | cosx+ sinx | | π | | sinx − cos(x) | | π | |
sin(− |
| + |
| ) * sin( |
| + |
| ) > 0 |
| | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | cosx+ sinx | | π | | sinx − cos(x) | | π | |
−2sin(− |
| + |
| ) * sin( |
| + |
| ) < 0 |
| | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
więc
sin(cos(x)) − cos(sin(x)) < 0 ⇒ sin(cos(x)) < cos(sin(x))
