całka rozbieżna studencik: Hej, poszukuję oszacowania, by pokazać, że całka jest rozbieżna

	1
∫01		dx
	ex−cosx

studencik: w sumie to niekoniecznie oszacowania, może być wykorzystane któreś z kryteriów

kochanus_niepospolitus:

	1
a nie wystarczy Ci policzyć granicę limx−>0
	ex−cosx

	1
a konkretniej oszacować przez granicę limx−>0		(co by się nie trudzić zbytnio )
	ex

kochanus_niepospolitus: oczywiście 'skasowałem' nie to co trzeba

studencik:

	1
ale całka z		jest oznaczona więc takie oszacowanie nic nie da
	ex

kochanus_niepospolitus: toć napisałem, że nie to skasowałem co trza

	1
trzeba liczyć limx−>0
	ex − cosx

kochanus_niepospolitus: nie myśl o całce a o granicy do policzenia ... w sumie to lim_x−>0⁺ wypadałoby policzyć

Kinga: a jest jakieś twierdzenie dotyczące całek nieoznaczonych z granicami?

kochanus_niepospolitus: Jaka jest definicja całki oznaczonej W samej definicji mamy podane −−− funkcja f(x) jest określona na przedziale [a,b] wykazanie, że nie jest ona określona dla x=0 powoduje, że nie jest to całka Riemana

kochanus_niepospolitus: a w jaki sposób można wykazać, ze nie jest ona określona dla x=0 ? Poprzez policzenie lim_x−>0⁺ f(x)

studencik: znaczna część całek niewłaściwych nie jest określona w danym punkcie a jest zbieżna,

	dx
np. ∫01		granica x−>1− wyjdzie tu +∞ a całka ma wartość π4
	√1−x4

kochanus_niepospolitus:

	π
tak ... za pomocą funkcji Gamma policzysz i nie będzie to równe
	4

Nie jest to całka Riemanna koniec kropka Rób sobie jak uważasz.

jc: dla x ∊ [0, 1] f(x) = e^x − cos x, f''(x) = e^x + cos x > 0 na rozpatrywanym przedziale ⇒ f jest wypukła, wartości leżą pod odcinkiem łączącym punkty na końcach wykresu f(x) ≤ (cos 1 + e) x ≤ 4 x

	1		1
		≥		dla x ∊ (0,1]
	ex − cos x		4x

To wystarczy. kochanus niepospolitus, funkcję można by dowolnie określić w punkcie 0, ale problemem jest to, że jest nieograniczona, i tak, jak mówisz, całki Riemana nie policzymy, możemy za to próbować policzyć pewną granicę (tu też się nie uda).

studencik: f(x) ≤ (cos 1 + e) x ≤ 4 x jc, a tu nie powinno być e−cos1 jako f(1)? I dziękuję.

jc: studencik, masz rację, dziękuję Ważne jest też, że f(x) > 0 dla x > 0, o czym nie wspomniałem.

studencik: to jest ważne by móc "odwrócić" funkcję czy może ma to jakiś związek z wypukłością itd.?

jc: Aby przekształcić nierówność: 0 < a ≤ b ⇒ 1/b ≤ 1/a.

piotr1973: dana funkcja ma następujące rozwinięcie w szereg Taylora:

1		1		5 x		2 x2		187 x3		29 x4
	=		−1+		−		+		−		+O(x5)
ex−cos(x)		x		6		3		360		72

	1
całka pierwszego wyrazu		jest rozbieżna, a całka pozostałych zbieżna, całość więc
	x

rozbieżna