Ilość pierwiastków rzeczywistych w zależności od parametru gielczunator: (x²+1)/(m²x−2m) + 1/(mx−2) = x/m Wyznaczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych w zależności od wartości parametru m. Po przekształceniu otrzymałem (1−m)x² + 2x + 1 + m = 0 (dobrze?) Doszedłem do tego, że jeśli m=1 to jedno rozwiązanie = −1 Δ wyszła mi 4m² więc Δ < 0 niemożliwa, Δ = 0 też bo z warunków na początku mamy m≠0, w takim razie Δ>0 dla ustalonej dziedziny i teraz co, zawsze dwa rozw. dla m ≠ {0, 1} ? Bo jeszcze z treści wychodzi, że m≠ 2/x i nie wiem czy to na coś wpływa?

Godzio: To zadanie wymaga trochę więcej roboty ...

gielczunator: mógłbym prosić o wskazówki?

Metis: Zacznij od dziedziny

Godzio: Przeanalizuj, nie dam głowy, że niczego nie pominąłem.

x2 + 1		1		x
	+		=
m2x − 2m		mx − 2		m

x2 + 1		m		x(mx − 2)
	+		−		= 0
m(mx − 2)		m(mx − 2)		m(mx − 2)

x2 + 1 + m − mx2 + 2x
	= 0
m(mx − 2)

x2(1 − m) + 2x + m + 1
	= 0
m(mx − 2)

Żeby wyrażenie miało sens zakładamy, że m ≠ 0. Dodatkowo

	2
x ≠
	m

x²(1 − m) + 2x + m + 1 = 0 Gdy jest to równanie liniowe:

	2
Dla m = 1 mamy jedno rozwiązanie x = − 1 (≠		= 2)
	1

Gdy jest to równanie kwadratowe: Dla m ≠ 1 mamy

	2
1o Δ = 0 i x ≠
	m

Δ = 4 − 4(1 − m)(1 + m) = 4 − 4(1 − m²) = 4m² = 0 ⇒ m = 0 Niemożliwe bo m ≠ 0

	2
2o Δ > 0 i jeden z pierwiastków jest równy
	m

Δ = 4m² > 0 ⇒ m ≠ 0 √Δ = 2|m|

	−2 + 2|m|		−2 − 2|m|
x1 =		lub x2 =
	2		2

	2
Załóżmy najpierw, że x1 =
	m

	2
|m| − 1 =
	m

Dla m > 0

	2
m − 1 =
	m

m² − m − 2 = 0 (m − 2)(m + 1) = 0 m = 2 lub m = − 1 Dla m < 0

	2
− m − 1 =
	m

− m² − m = 2 m² + m + 2 = 0 Δ < 0

	2
oraz x1 ≠
	m

	2
− |m| − 1 ≠
	m

Dla m > 0 − m² − m ≠ 2 m² + m + 2 ≠ 0 Δ < 0 −− ok Dla m < 0 już nas nie interesuje, bo nie było rozwiązań dla x₁ = ... I teraz na odwrót (chyba nie wyjdzie nic nowego, ale sprawdź) Na obecną chwile mamy: Jedno rozwiązanie dla m = 1 oraz m = 2 Dwa rozwiązania dla m ≠ {0,1,2}

gielczunator: ale dlaczego x1 i x2 mają w mianowniku 2 a nie 2−2m, skoro współczynnik "a" to 1−m?

Metis: No miałeś sprawdzić, nie?

gielczunator: no tak

Metis: No , to poprawiaj to co Ci się nie zgadza, i nie narzekaj bo zadanie masz prawie rozwiązane i rozłożone na czynniki pierwsze przez Godzia

gielczunator: a co miałeś na myśli przez "teraz na odwrót" ?

gielczunator: ależ ja bardzo dziękuje, tylko chciałem sie upewnić, że to błąd Godzia a nie mój w rozumowaniu

Metis: Oj czemu od razu z tak "ciężkimi" słowami. Może to po prostu przeoczenie, albo chochlik ? A ty już od razu z błędem wyjeżdzasz .

gielczunator:

	−1+|m|		−1−|m|
Przy miejscach zerowych x1=		oraz x2 =		przy przyrównywaniu do
	1−m		1−m

	2
		wyszło mi m≠1 dla x1 oraz m ≠ −2 dla x2. Coś jeszcze trzeba, czy mam już wynik? Bo
	m

zastanawia mnie co Godzio miał na myśli przez "teraz na odwrót"

gielczunator: dobra juz rozumiem

Godzio: Tak, przeoczyłem to '2a', sprawdziłem warunek, że x₁ = ... i x₂ ≠ ... i należało sprawdzić, że x₁ ≠ ... i x₂ = ...

gielczunator: Dzięki!