zadanie daniel: skontruowac ( podac przepis) endomorfizmu f : R[x]₂ −−> R[x]₂ tak by, ker f =lin{1−x} , im f =lin{1+x,1+x²}. prosze o pomoc

daniel: wie ktoss?

jc: Gdzie dokuczają takimi zadaniami?

daniel: agh

daniel: probuje f(1−x) = 0 gdy wezme wielomian w(x) = ax²+bx+c ale wtedy wychodzi ze a=b=c=0...

daniel: z warunku na im f wychodzi ze w(x)= ax² +a + bx+b i wtedy wyjdzie po wylaczeniu a i b ze Imf f = lin{1+x,1+x²} , ale nie bardzo wiem co dalej...

daniel: znalazlem cos tego typu zadanie na necie http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=36&t=40229

daniel: ale jak wezme jakis dowoly wektorek do jadra jako niezalezny z tym 1−x to nie wiem jak to dalej rozpisac..

jc: Czy chodzi o endomorfizm przestrzeni liniowych? Załóżmy, że tak. Aby zdefiniować przekształcenie liniowe, wystarczy okreslić wartości przekształcenia na elemntach bazy. W naszym przypadku można wybrać bazę tak: 1−x, x, x² f(1−x) = 0 f(x) = x (lub dowolny niezerowy wielomian st ≤ 2) f(x²) = x² (lub dowolny wielomian, który nie jest proporcjonalny do pierwszego wielomianu) Tzn. można to zrobić na ∞ wiele sposobów. Zaproponowany sposób daje f(ax² +bx + c) = f(ax² + (b+c)x + c(1−x) ) = a x² + (b+c) x Inny przykład p(x) →p(0) + p'(x), p(x) = wielomian st ≤ 2

daniel: kurcze, nie bardzo rozumiem... bo do wektorka 1−x dobierasz sobie inne z nim niezalezne i bierzesz je z Im f? i np f(x)= x+1 , f(x²)=1+x² ?

jc: Nie zauwazyłem, że obraz jest dokładnie określony (a nie tylko 2−wymiarowy), choć możliwe, że przypadkowo było dobrze. No to przyjmij jako bazę: 1−x, 1+x, 1+x² Przykładowe rozwiązanie: f(1−x) = 0 f(1+x) = 1 + x f(1+x²) = 1+ x² Jak chcesz możesz przejść do bazy 1, x, x². x² = (1+x²) + (1/2) (1+x) + (1/2) (1−x) x = (1/2) (1+x) − (1/2) (1−x) 1 = (1/2) (1+x) + (1/2) (1−x)

daniel: czyli: u = α f(1−x) + βf(1+x) + γf(1+x²) = β(1+x) + γ(1+x²)= γx² + βx +β +γ − nasz przepis tak?