szeregi znafca: x Wyznaczyć szeregi potęgowe f'(x) oraz ∫ f(t)dt, jeżeli funkcja określona jest wzorem: 0

	1
f(x)=
	1+x3

ktoś wyjaśni o co chodzi w tym zadaniu?

znafca: Czy chodzi o coś takiego?

	1
f(x)=
	1−(−x3)

∞ ∞ f(x)=∑ (−x³)ⁿ=∑ (−1)ⁿ*x³ⁿ n=0 n=0 ∞ f'(x)=∑ (−1)ⁿ *3n * x³ⁿ⁻¹ n=0

jc: Chodzi o rozwinięcie w szereg potęgowy f'(x) oraz całki. Rachunek łatwiej wykonać korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szerewgu potęgowego. Jeśli f(x) = ∑ a_n xⁿ, to

	an
f'(x) = ∑ n an xn−1, ∫0x f(t) dt = ∑		xn+1
	n+1

	1
U nas f(x) =		= ∑n=0∞ (−1)n x3n
	1+x3

przy założeniu, że |x| < 1.

Benny: Dla x=1 czemu nie działa?

znafca: x ∞ ∞

	(−1)n
∫ (∑ (−1)n*t3n)dt=∑		*x3n+1
	3n+1

0 n=0 n=0

jc: nafca Tak właśnie Benny, dla x = 1 szereg geometryczny nie jest zbieżny (chociaż szereg definiujący całkę akurat jest zbieżny, ale o tym twierdzenie nic nie mówi).