całka trygonometryczna Kinga: Hej, potrzebuję pomocy z całką nieoznaczoną, przy podstawieniu uniwersalnym (tangens połówkowy) wychodzą nawet dwunaste potęgi

	sin2x cos2x
∫		dx
	(sin3x+cos3x)2

PW: Mianownik: (sin³x + cos³x)² = ((sinx+cosx)(sin²x − sinxcosx + cos²x))² = = (sinx+cosx)²(1 − sinxcosx)² = (sin²x+2sinxcosx+cos²x)(1 − sinxcosx)²=

	1
= (1+2sinxcosx)(1−sinxcosx)2 = (1+sin2x)(1−		sin2x)2
	2

Teraz licznik:

	1
sin2xcos2x = (sinxcosx)2 =		sin22x,
	4

mamy więc całkę

1		sin22x
	∫		dx,
4		1   (1+sin2x)((1− sin2x)2   2

ale nie wiem czy Ci pomogłem

jc: Dzileimy licznik i mianownik przez cos⁶ x:

sin2 x cos2 x		tg2 x		1
	=
(sin3 x + cos3 x)2		(1+tg3 x)2		cos2 x

	dx
t = tg x, dt =
	cos2 x

	t2		1		1		1		1
Zatem nasza całka = ∫		dt = −				= −
	(1+t3)2		3		1+t3		3		1+tg3 x

(jak nie widzisz, podstaw u = t³)

Jerzy: Mozna uproscic ten sposob pozbywajac sie wczesniej kwadratu w liczniku i mianowniku.. potem dzielimy przez cos³x i podstawiamy tak samo: tgx = t

jc: Jerzy, jak się pozbyć kwadratów?

	1		cos3 x
Przy okazji inna forma wyniku: −				.
	3		sin3 x + cos3 x

Jerzy: sin²xcos²x = (sinxcosx)²

Jerzy: Sorry...napisałem głupotę

Kinga: Dzięki wielkie!