5742 pies: Dla jakich wartości parametru m równanie 1 + 2cos²x + 4cos⁴x + ... = m ma rozwiązania?

Metis: Lewa strona: Suma szeregu geometrycznego.

Jerzy: Policz sumę tego ciągu

Janek191: 1 + 2 cos² x + 4 cos⁴ x + ... = m a₁ = 1 q = 2 cos² x Jeżeli I q I < 1 , to

	a1		1		1		−1
L =		=		=		=
	1 − q		1 − 2 cos2 x		− cos 2 x		cos 2 x

−1
	= m oraz −1 ≤ cos 2 x ≤ 1 i cos 2 x ≠ 0
cos 2 x

Dokończ:

pies: S_n=1/ 1−2cos²x no i co teraz IqI<1 1<1−2cos^x i 1>−1+2cos²x

kochanus_niepospolitus: a te nierówności to dla jakich warunków?

pies: ze IqI<1

Metis: Zapis S_n w szeregu odpada. Zapis ten stosuje się jedynie w sumie w ciągy art./geo.

kochanus_niepospolitus: Metis ... ale to jest ciąg geometryczny (dla ustalonego wcześniej 'x')

kochanus_niepospolitus: no dobrze ... a dla jakich 'x' masz, że |q|<1 jest równoznaczne z 1<1−2cos²x a kiedy jest równoznaczne z 1> −1 + 2cos²x

Metis: Tak , niesprecyzowałem S_n − to suma skończonego ciągu art./geometrycznego Oznacza sumę pierwszych n wyrazów ciągu. W przypadku sumy szeregu geometrycznego −sumy nieskończonego ciągu geometrycznego tego zapisu się nie stosuje

kochanus_niepospolitus: fakt ... pisze się po prostu S ... ewentualnie (widywało się czasem) niektórzy piszą S_∞

Metis: Pamiętam to dobrze, bo profesor nie tak dawno na sprawdzianie odjął mi punkt za ten zapis

Jerzy: Racja Metis...to taki drobny niuans

Metis:

Mariusz: Założenie |2cos²(x)|<1 S_n=a₁+a₁q+a₁q²+ +a₁qⁿ⁻¹ qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+ +a₁qⁿ S_n−qS_n=a₁−a₁qⁿ S_n(1−q)=a₁(1−qⁿ)

	1−qn
Sn=a1
	1−q

	1−qn		a1
limn→∞a1		=
	1−q		1−q

pies: nie lubie was