zadanko chyba trudne mat: 3³ * 3⁶ * 3⁹ ....... 3^x=√729 Wykaż że ma to równanie ma rozwiązanie należace do zbioru liczb naturalnych

Metis: 3³*3⁶*3⁹...3^x=√729 3³*3⁶*3⁹...3^x=(3⁶)^1₂ 3³*3⁶*3⁹...3^x=3³ 3^3+6+9+...+x=3³ 3^1,5x(x+1)=3³ 1,5x(x+1)=3

3		3
	x2+		x−3=0 / 2
2		2

3x²+3x−6=0 /: 3 x²+x−2=0 (x−1) (x+2) = 0 x=1 v x=−2 ~∊N x=1∊N c.n. p

===: zauważ, że 729=3⁶ zatem √729=

mat: @Metis a skąd wzięło się to 1,5x(x+1) w 4 linijce rozwiązania ?

Metis: Suma ciągu art. : 3+6+9+...+x

mat: ok, ale jeśli to są kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnic 3 − to jakim cudem x może być 1

taki tam: Sprawdzenie: dla x=1 3¹≠√729 odp: x=3∊N bo 3³=√729=3³

mat: po drugie coś mi się to nie podoba bo: a1=3 ax=3+(n−1)3 Suma=(3+3+3n−3)*n/2=3 a to wychodzi dla n=1 lub n=−2 Ale przecież n to chyba nie x, czy gdzieś robie błąd ?

mat: @taki tam Skąd masz to x=3 ? Bo z ciągu arytmetycznego tak nie wychodzi

Metis: taki tam nie pisz bzdur.

mat: @Metis nie pasuje mi twoje rozwiązanie, uważasz że jest ok, co sądzisz o tym poście co napisałem troszeczkę wyzej

taki tam: Z ciągu arytmetycznego też tak wyjdzie

	x−3		x
n=		+1 ⇒ n=		, x∊N
	3		3

	3+x		x		x(x+3)
Sn=		*		=
	2		3		6

x(x+3)=18 ⇒ .......... (x−3)(x+6)=0 ⇒ x=3 ∊N

mat: czy dobrze przeczytałeś polecenie, bo albo ja czegoś nie widzę albo piszesz rzeczy kompletnie bez sensu

mat: Nie ok rozumiem Cb ale wtedy by to było bez sensu zadania bo jeśli przyjąć 3 to wyraz miałby tylko 1 wyraz a tam jest jeszcze 6 i 9 więc coś jest dalej nie tak

mat: Czy to zadanie wgl jest ok, bo mi się wydaje że ono samo jest jakieś skopane

Metis: Jest . Już poprawiam.

Metis: Konflikt oznaczeń . 3+6+9+...+x a_n=x ⇔ a₁+r(n−1)=x ⇔ 3+3n−3=x ⇔ 3n=x 3+6+9+...+3n

	3+3n		3(n+1)
Sn=		*n ⇔		*n ⇔ 1,5n(n+1)
	2		2

Zatem:

	3		3		x
1,5n(n+1) =		n2+		n , gdzie n=		; stąd:
	2		2		3

3		x		3		x
	(		)2+		*		=
2		3		2		3

	3		x2		x
=		*		+		=
	2		9		2

	x2		x
=		+		=3+6+9+...+x
	6		2

a_n=x ⇔ a₁+r(n−1)=x ⇔ 3+3n−3=x ⇔ 3n=x 3+6+9+...+3n

	3+3n		3(n+1)
Sn=		*n ⇔		*n ⇔ 1,5n(n+1)
	2		2

Zatem:

	3		3		x
1,5n(n+1) =		n2+		n , gdzie n=		; stąd:
	2		2		3

3		x		3		x
	(		)2+		*		=
2		3		2		3

	3		x2		x
=		*		+		=
	2		9		2

	x2		x		x2+3x
=		+		=
	6		2		6

	x2+3x
3		=33
	6

x2+3x
	=3
6

x²+3x−18=0 (x−3)(x+6) = 0 x=3 v x=−6 ~∊N x=3∊N Tak czy inaczej taki tam pisał źle. Odciął całą część zadania ( 3³ * 3⁶ * 3⁹ ......) i zapisał że 3^x=3³ , wtedy x=3

Metis: Sorry powtórzyłem dwa razy to samo

Jerzy: Za dużo tego pisania... Zadanie sprowadza sie do ustalenia , dla jakiego x suma ciągu : 3,6,9,.....x = 3 Gołym okiem widać,że x = 3

	6 + (n−1)*3
ale matematycznie:		*n = 3 ⇔ n = 1 , a wiec jeden wyraz 3 ( x = 3 )
	2

mat: no ale czy to nie jest źle, no bo wtedy jakby po prostu nie ma żadnego ciągu jest po prostu 1 wyraz a ta 6 i 9 znika mimo, że w głównym poleceniu one są więc można to tak zrobić że naglę odciąc 2 wyrazy

Metis: Zapiszę jeszcze raz,aby uniknąć niedomówień. 3³*3⁶*3⁹*...*3^x=√729 ⇔ 3³*3⁶*3⁹*...*3^x=(3⁶)^1₂ Na podstawie działań na potęgach: 3^3+6+9+...+x=3³ 3+6+9+...+x − rozpoznaję sumę ciągu art. , gdzie: a₁=3, r=3, oraz a_n=x Korzystam ze wzoru na n−ty wyraz ciągu art. a_n=x ⇔ a₁+r(n−1)=x , stąd 3+3(n−1)=x ⇔ 3n=x Wracamy do naszego ciągu i podstawiamy: 3+6+9+...+3n

	a1+an		3+3n
Sn=		*n ⇔ Sn=		*n , stąd:
	2		2

	3n(n+1)
Sn =		= 1.5n(n+1)
	2

Wracamy do podstawienia i otrzymujemy:

	x2+3x
Sn=
	6

	x2+3x
33+6+9+...+x=33 ⇔ 31.5n(n+1)=33 ⇔ 3(		)=33 , stąd:
	6

x2+3x
	=3 / 6
6

x²+3x=18 ⇔ x²+3x−18−0 ⇔ (x−3)(x+6) = 0 x−3=0 v x+6=0 x=3 v x=−6 ~∊N x=3 ∊ N c.n.p

Jerzy: Ciąg jest nieskończony: a₁ = 3 i r = 3 Sprawdzmy , ile trzeba wziąć wyrazów tego ciagu, aby ich suma była równa 3 i okazuje się tylko jeden wyraz daje taką "sumę"

mat: @Metis ponawiam moje pytanie (chyba nie zdążyłeś przeczytać), spróbuj teraz te x=3 podstawić do głównego równania

Metis: Teraz przeczytaj to co napisał Jerzy

mat: @Jerzy ja rozumiem całe rozwiązanie tylko, że znika nam to 3⁶ * 3⁹ z głównego równania i tu mam wątpliwości

Jerzy: nie czujesz tego mat ... nic tu nie podstawiamy, jeśli suma ma być 3, to x = 3 , jesli suma ma być 9 , to x = 6 , jeśli 18, to x = 9 ... itd

mat: ok co nie zmienia faktu że chyba polecenie jest źle sformułowane

Jerzy: nic nie znika ..... bierzesz tylko pierwszy wyraz tego ciągu ( n = 1) , a to oznacza,ze x = 3

mat: W poleceniu jest dokładnie jest tak 3³* 3⁶* 3⁹*.......*3^x= 3 No wiec dla mnie to znika jednak

Jerzy: no... nie do końca , po prawej jest: √729

Jerzy: mat ... zastanów się,jakbyś rozwiazywał to zadanie,gdyby z prawej strony było np; 3¹⁸

mat: mnożymy 81*coś*coś* .....(czyli dalej coś razy mnożymy) i jeszcze razy 3^x a potem nam wychodzi że zostaje samo 3^x czylia tak jakby tego początku nie było. Gdyby polecenia brzmiało 3^x=3³ I wiedząć że pod x kryje się ciąg arytmetycznyo różnicy 3, wtedy to rozumiem.

mat: @ Jerzy to bym miał x=0

Jerzy: to jest dokładnie to zadanie, tylko pod Twoim x , kryje się suma ciagu arytmetycznego: 3,6,9,12,15,18,......x

Jerzy: nie .....szukałbyś ile wyrazów ciagu 3 ,6, 9, ... x daje sume 18 3 + 6 + 9 + 12 + .....x = 18 ( tu widać,że pierwsze trzy wyrazy), ale mozna to obliczyć

Jerzy: no i odpowiedż oczywiście: x = 9 , czyli ciąg: 3 , 6 , 9

prosta: kolejne czynniki wypisane są tylko po to , by ustalić regułę ( wskazać ciąg arytmetyczny bądź geometryczny) to, że wypisano 3³*3⁶*3⁹ ....3^x nie oznacza , że te wszystkie początkowe czynniki występują w tym konkretnym iloczynie

mat: Mhm no jak tak interpretować to zadanie to ok. Bo ja myślałem że te 3³ * 3⁶ * 3⁹ to są jakby stałe i one muszą być w tym równaniu. Bo wtedy wracając do twojego pytania miałbym 3¹8* 3^x = 3¹8, czyli x musiałby być 0.

mat: Dla mnie zadanie jest mimo wszystko niezbyt precyzyjnie sformułowane i może wprowadzać w błąd. Dziękuję j wszystkim za pomoc