całka studencik: Mam problem z pewną całką nieoznaczoną: ∫x⁴e^−2x2 Docelowo mam policzyć całkę ∫₀^∞

jc: ∫₀^∞ e^−x2 = √π ∫₀^∞ e^{− a x2} = √π/a (zamiana zmiennych) Obie strony równania dwukrotnie różniczkujesz względem a i podstawiasz a=2.

mats: rozbij jako ∫x²*x²*e^−2x2. Podstawienie t = x² i potem przez części.

mats: a, nie sorry. źle.

jc: Mała pomyłka, prawe strony całek powinny być podzielone przez 2.

	√π
∫0∞ x4 e−ax2 dx =		(a−1/2) ''
	2

studencik: ∫₀^∞ e^−x2 = √π a skąd to się wzięło? można to jakoś prosto wykazać?

studencik: i czy mogę różniczkować dwukrotnie względem a skoro przy całce teoretycznie jest dx?

jc: (1) ∫_−∞^∞ e^−x2 dx = √π Całkę można liczyć na różne sposoby (Wikipedia: całka Gaussa ) (2) ∫_−∞^∞ e^−ax2 dx = √π/a Zmiana zmiennych x = u/√a daje ∫_−∞^∞ e^{−a x2} dx = a^−1/2 ∫_−∞^∞ e^−u2 du = √π/a

	1
(3) u nas jest ∫0∞ ... dx =		∫−∞∞ ... dx (funkcja pod całką jest parzysta)
	2

(4) całki można fóźniczkować względem parametru (przy pewnych założeniach)

d		d
	∫ f(x,a) dx = ∫		f(x,a) dx
da		da

studencik: f(x,a) czyli nasze x⁴e^−x2 nie musi być określone na przedziale domkniętym? przepraszam za niewiedzę, ale sugeruję się jedynie wikipedią xd P.S. dzięki, teraz wszystko wyszło, co prawda mój wynik to 3√2pi/64 a w odp jest 3pi√pi/64, ale wolfram pokazuje mój wynik, więc raczej jest dobrze

jc: Inny sposób. Dwa razy całkujemy przez części, pracy więcej, a na koniec i tak pozostaje całka z e^−ax2.