dowód flo: udowodnij, że dla liczb dodatnich a i b, niewiększych od 1, prawdziwa jest nierówność: ab² − a²b≤1/4

Rafal44: Po przekształceniach a²b−ab²+1/4>=0. Potraktuj lewą stronę jako funkcję zmiennej a. Δ=b⁴−b=b(b³−1)<=0, gdyż z założenia b>0 i b<=1. Wobec tego funkcja ta może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią OX, a jej ramiona są zwrócone do góry (b>0).

Rafal44: Inaczej: a²b−ab²+1/4≥0 a²b−a√b+1/4+a√b−ab²≥0 (a√b−1/2)+a(√b−b²)≥0 Pozostaje zauważyć, że jeśli b∊(0,1], to √b≥b≥b², czyli √b−b²≥0, co kończy dowód, gdyż udało nam się przedstawić lewą stronę w postaci dwóch wyrażeń stale nieujemnych w danych przedziałach.

Rafal44: PS. W trzeciej linijce drugiego rozwiązania zgubiłem kwadrat.

flo: dziękuję bardzo!