PW: Z uwagi na równanie
ax + b = 0
należy rozważyć trzy sytuacje:
1. a ≠0
| | b | |
(wtedy równanie ma jedno rozwiązanie x0 = − |
| ) |
| | a | |
2. a = 0 i b = 0
(wtedy równanie ma postać 0·x + 0 = 0 i jego rozwiązaniami są wszystkie liczby rzeczywiste)
3. a = 0 i b≠0
(wtedy równanie ma postać 0·x + b = 0 i nie ma żadnych rozwiązań).
1. Aby równanie
x
2 + ax + b = 0
miało taki sam zbiór rozwiązań, musiałoby być:
| | b | | b2 | |
x2 + ax + b = x2 + 2· |
| ·x + |
| , |
| | a | | a2 | |
skąd wynikałoby (przez porównanie współczynników przy odpowiednich potęgach)
a
2 = 2b i a
2b = b
2
Podstawienie pierwszej równości do drugiej daje
2b
2 = b
2,
co oznacza że b = 0.
Podsumowanie:
Równania ax+b = 0 i x
2 + ax + b = 0
dla a ≠ 0 i b = 0 przyjmują postać
ax = 0 i x
2 + ax = 0
i mają jedno rozwiązanie wspólne x = 0, jednak drugie z tych równań ma jeszcze inne rozwiązanie
x = − a; róewnania nie mają takich samych zbiorów rozwiązań.
2. Jeżeli a = 0 i b = 0, to równanie x
2 + ax + b = 0 przyjmuje postać
x
2 = 0
i ma tylko jedno rozwiązanie − nieprawda, że jego rozwiązaniami są wszystkie liczby
rzeczywiste.
3. Jeżeli a = 0 i b≠0, to równanie x
2 + ax + b = 0 przyjmuje postać
x
2 + b = 0.
Jeżeli jednocześnie b < 0, to są dwa rozwiązania (x =
√−b lub x = −
√b).
Jeżeli jednocześnie b > 0, to nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Równania ax + b = 0 i x
2 + ax + b = 0 mają ten sam zbiór rozwiązań (zbiór pusty),
gdy
a = 0 i b > 0, to znaczy gdy mają postać
b = 0 i x
2 + b = 0, b > 0.
Odpowiedź A. poprawna.
Uwaga. Uczeń odpowiadający na pytanie testowe w teście jednokrotnego wyboru nie musi prowadzić
takich skomplikowanych rozważań. Po prostu bierze pierwszą możliwość a = 0 i b > 0 i sprawdza:
0·x + b = 0 i x
2 + b = 0
− oba równania mają puste zbiory rozwiązań − koniec, kropka, układający test był litościwy, bo
za pierwszym razem mamy jednakowe zbiory rozwiązań, zaznaczamy odpowiedź A (zajmuje 30
sekund).