calki jadziaa33: znalezc calki ogolne ukladu rownan:

dx
	=4x−2y
dt

dy
	=5x−2y
dt

policzylam macierz A−αI i wyszlo mi ze α₁=1−i a α₂=1+i i nie wiem jak dalej policzyc aby wyszlo dobrze. ktos pomoze?

jc: M − macierz układu równań. Szukasz e^tM = e^t (sint + cos t) I + e^t sin t M Sprawdź na wszelki wypadek. I to macierz jednostkowa. Kiedyś potrzebowałem czegoś podobnego dla dowolny a₁≠a₂. Teraz wstawiłem do gotowego wzoru.

jc: Po kolei (teraz używam Twojego oznaczenia). A² − 2A + 2 I = 0 (A−I)² = − I e^t(A−I) = cos t I + sin t (A−I), coś jak wzór Eulera e^tA = e^{t I} e^{t(A − I)} = e^t [cos t I + sin t (A−I) ] Czyli wcześniej coś pomyliłem (znak w jednym miejscu).

jadziaa33: o kurczaki nie rozumiem na cwiczeniach inaczej robilismy. ze moja macierz A−αI = 4−α −2 5 −2−α liczac wyznacznik tej macierzy wlasnie wyszlo mi ze α₁=1−i α₂=1+i a nastepnie podstawialismy w macierzy za α ta α1 i wychodzil nam uklad rownan ktory trzeba rozwiazac. tylko mi nie wychodzi

piotr: x(t) = c₁ e^t (3 sin(t)+cos(t))−2 c₂ e^t sin(t) y(t) = 5 c₁ e^t sin(t)+c₂ e^t (cos(t)−3 sin(t))

jadziaa33: w jakiej ksiazce moge znalezc podobne przyklady? w ogole jak sie nazywa takie cudo? na wyklady nie chodze wiec w zeszycie nie znajde

jc: To jest to samo. Rozwiązanie możesz zapisać tak: e^{a₁ t}v₁ + e^{a₂ t} v₂, gdziw v₁, v₂ to wektory własne. Czy masz kłopot ze znalezieniem wektorów własnych? Liczysz tak: 4x −2 y = (1+i) x, (3−i) x = 2y, np. x = 2, y = 3−i Drugi wektor własny: x = 2, y=3+i. −−− Jak masz warunek początkowy v₀, to musisz przedstawić w postaci kombinacji liniowej v₁ i v₂. Jak masz ale rozwiązanie mżesz zapisać od razu v(t) = e^tA v₀.

jadziaa33: tak. byl warunek x(0)=1 y(0)=2

jc: Nie wiem, co się stało z ostatnim zdaniem Po prostu v(t) = e^tA v₀. Rozwiązanie Piotra uzyskujesz wstawiając v₀=(c₁,c₂)

jc: No to wstaw do rozwiązania Piotra c₁ = x(0)=1, c₂=y(0) = 2.

jadziaa33: ok. dzieki. a mam jeszcze jedno zadanie, troche inny typ.

	du		du
y		+z		=0
	dx		dz

zaczelam tak.

dx		dy		dz
	=		=
y		0		z

dy=0 y=C₁

dx		dz
	=
y		z

dx		dz
	=
c1		z

x		dz
	=		calkowalam i wyszlo
C1		z

x
	−lnz=C2
c1

i dalej tez nie wiem co robic. jak zapisac odpowiedz

jadziaa33: oj blad sie wkradl

dx		dz
	=		i teraz calkujac wyszlo
y		z

x
	−lnz=C2
y

jadziaa33:

	1
i zapomnialam dodac ze u(1,y,z)=lnz −
	y