srednie Jack: Uzasadnij z nierownosci miedzy srednimi a)

1		1
	+		≥ 8
a		b

	1
b)		−4a ≥ 6 + 4b
	2ab

Rozumiem ze jesli mam 2 liczby a,b to

a+b
	≥ √ab
2

ZKS: Nierówności między średnimi zachodzą dla liczb dodatnich.

PW: A założenia? Przecież pierwsza nierówność nie jest prawdziwa (istnieją a i b, dla których jest fałszywa).

ZKS:

√a2 + b2		a + b		2
	≥		≥ √ab ≥
√2		2		1   1   + a   b

Jack: ah, przepraszam, naturalnie. a,b to liczby rzeczywiste dodatnie oraz

	1
a+b =
	2

ZKS:

1		1
	+		≥ 8
a		b

1		1
	≤
1   1   + a   b		8

Dalej chyba wiadomo?

Jack: no wlasnie tak srednio to czaje...

ZKS: Spróbuj doprowadzić do nierówności takiej

2		a + b
	≤		.
1   1   + a   b		2

Jack: chodzilo mi oczywiscie o srednie geometr/arytm. nie wiem co to harmonijna : D :(

jc: (a+b)(1/a +1/b) = a/b + 2 + b/a = (√a/b − √b/a)² + 4 ≥ 4

Jack: ahh, kazdy pisze inaczej,

ZKS:

1		1
	+		≥ 8
a		b

a + b
	≥ 8
ab

(a + b)² ≥ 4ab

	a + b
(		)2 ≥ ab
	2

a + b
	≥ √ab
2

Jack: hmmm, czyli tu chodzi o to by doprowadzic do takiej postaci?

a+b
	≥ √ab ?
2

Jack: mamy to...

a+b
	≥ 8
ab

a potem z ogolnego wzoru (a+b)² ≥ 4ab czy tu zachodzi jakis zwiazek? bo to ze (a+b)² ≥ 4ab to akurat wynika z (a−b)² ≥ 0... co nie ma duzo wspolnego z poleceniem

ZKS: Jeżeli masz wykorzystać nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometryczną to zapis o 20:11.

Jack: dobra i tak nie zrozumiem, nie ma sensu...

ZKS: Czego nie rozumiesz?

Jack: w poscie 20;11 trzecia linijka od doly (a+b)² ≥ 4ab to ok bo wychodzi z (a−b)² ≥0 ale co to ma wspolnego z drugim postem od gory? bo wg mnie to nic...

Metis: Chodzi Ci pewnie o przeskok z zapisu :

a+b
	≥ 8 do (a+b)2 ≥ 4ab
ab

ZKS:

	a + b
Chodzi Ci o przejście z		≥ 8 do (a + b)2 ≥ 4ab?
	ab

Metis:

Jack: no jak dla mnie to dwie zupelnie inne rzeczy

ZKS:

	1		1
Z treści zadania wynika, że a + b =		, więc mnożąc tą nierówność przez a + b =
	2		2

otrzymamy to co napisałem.

Jack: dobra, to zrobie podpunkt taki : to samo polecenie, tylko uzasadnic, ze

	1
ab ≤
	16

wiec

	1
ab ≤
	16

	1
√ab ≤
	4

	1   2
√ab ≤
	2

	a+b
√ab ≤
	2

o to chodzi tak?

ZKS:

	a + b
Tak,		≥ √ab jest to nierówność między średnią arytmetyczną, a geometryczną.
	2

Jack: to teraz podpunkt b)

Jack:

1
	− 4a ≥ 6 + 4b
2ab

1
	− 6 ≥ 4(a+b)
2a

no i wlasciwie na tym koncze...

ZKS:

1
	− 4a ≥ 6 + 4b
2ab

1
	≥ 8(a + b) + 12
ab

1
	≥ 16
ab

Jack: aaa, i potem to co zrobilem, no dobra...