Całka Ruda : Hej, potrzebuję pomocy z udowodnieniem rozbieżności całki, bo gdy liczę tradycyjnie, to wychodzi mi symbol nieoznaczony

	dx
∫02
	x2−4x+3

jc:

1		1		1		1		1
	=		=		(		−		)
x2−4x+3		(x−1)(x−4)		3		x−3		x−1

	1		1		x−3
∫		dx =		ln |		|
	x2−4x+3		3		x−1

Całkowana funkcja ucieka do ±∞ gdy zbliżamy się do 1. Zatem należy podzielić przdział na dwa przedziały. ∫₀³ ... dx = lim_{a →1⁻} ∫₀^a ... dx + lim_{b →1⁺} ∫_b² ... dx Żadna z powyższych granic nie istnieje.

Ruda : A te granice nie wyjdą ∞?

jc: Teraz zrozumiałem z czym masz problem. My na prawdę musimy policzyć i dodać dwie granice. Nie wolno nam liczyć granicy z sumy (ta akurat istnieje, ale to już inny temat).

jc: Jedna granica to +∞, a druga to −∞.

Ruda : Ale ta calka po rozbiciu to suma dwóch całek czyli suma dwóch granic? Czyli nie wyjdzie ∞−∞?

PW:

1		1		1		1		1
	=		=		(		−		).
x2−4x+3		(x−1)(x−3)		2		x−3		x−1

Całka z pierwszego składnika nie sprawia kłopotów, a drugi trzeba całkować na 2 przedziałach. Tak liczyłeś "tradycyjnie"?

jc: Rozbijasz przedział na dwa przedziały. Jak zauważyłaś w jednym całka wynosi ∞, w drugim −∞. Po prostu te dwie całki nie istnieją i nie możemy ich dodać. Z drugiej strony, gdybyśmy się zbliżali równo w każdym z przedziałów do 1, to suma dwóch całek byłaby skończona (na prawdę stała). Ale to nie była całka niewłaściwa, tylko wartość główna Cauchyego (wiki).

jc: Oczywiście zamiast 1/3 powinno być 1/2 jak u PW, ale to nie zmienia zadania.

jc: PW Nie wiem czy tradycyjnie. Tak jak piszesz, kłopot sprawia drugi wyraz. Zgodnie z definicją, należy dodać dwie całki, a żadna z nich nie istnieje.

PW: Źle to zabrzmiało w takiej kolejności. Pisząc podpowiedź o 19:23 nie widziałem Twoich wpisów , pytanie było skierowane do użytkownika Ruda.

jc: Czasem wypowiedzi się rozmijają i mieszają w dziwny sposób