całka milenka: ∫ od 0 do ∞ ∫ sin(x)*(e)⁽−x) dx mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu granic ?

Jerzy: Najpierw policz całkę przez części

milenka: z tym też mam problem wychodzi mi −1/2 e⁻x(sinx+1)

jc: ∫ sin x e^−x dx = − ∫ sin x (e^−x)' dx = − sin x e^−x + ∫ cos x e^−x dx = − sin x e^−x − ∫cos x (e^−x)' dx = − sin x e^−x − cos x e^−x − ∫sin x e^−x dx Stąd ∫ sin x e^−x dx = − (1/2)(sin x + cos x) e^−x ∫₀^∞ sin x e^−x dx = 1/2

milenka: możesz mi wyjaśnić skąd to przejście ? czemu to jest −1/2

jc: Po drugim całkowaniu przez części, po prawej stronie pojawia się taka taka sama całka, jak po lewej, ale z przeciwnym znakiem. Przenosimy ją na lewą stronę. Ale wtedy po lewej stronie będą dwie całki (takie same). Musimy więc obie strony podzielić przez 2.