#workout22 PrzyszlyMakler: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0 prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤0 y = −x −z Przekształcam tożsamościowo. x(−x −z) + (−x −z)z + zx ≤ 0 −x² −zx −zx −z² +zx ≤0 |(*−1) x² + zx + zx + z² −zx ≥ 0 |*(2) x² + x² + 2zx + y² + y² ≥0 x² + z² + (x+z)² ≥ 0 cnu To jest zadanie z matury, ale w schemacie rozwiązania nie było takiego rozwiązania. Czy uznaliby mi to? Mam wątpliwości czy mogę pomnożyć przez *−1

Jack: Wg mnie jest ok...oczywiscie komentarze obowiazkowe. 1.przeksztalcam nierownosc rownowaznie 2.kwadrat liczby jest nieujemny,zatem ich suma rowniez jest nieujemna

ZKS: Można wykorzystać nierówność taką i przekształcać ją równoważnie (x + y)² + (x + z)² + (y + z)² ≥ 0 2(x² + y² + z²) + 2(xy + xz + yz) ≥ 0 x² + y² + z² ≥ −(xy + xz + yz) x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz ≥ xy + xz + yz (x + y + z)² ≥ xy + xz + yz 0 ≥ xy + xz + yz

jc: Trochę bym to poprawił. 0 ≤ (x−y)² + (y−z)² + (z−x)² = 2(x²+y²+z² − xy − yz − zx) Stąd x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx (x+y+z)² = z² + y² + z² + 2(xy+zy+zx) ≥ 3(xy+yz+zx) Dlatego, jesli x+y+z=0, to xy+yz+zx ≤ 0.

ZKS: Błędu u siebie nie widzę, mógłbyś wskazać błąd i napisać dlaczego byś to poprawił?

jc: Nie ma błędu. Co najwyżej dodałbym komentarz po 3 linii: do obu stron nierówności dodajemy 2(xy+yz+zx). Reszta to sprawa gustu.

ZKS: Rozumiem, myślałem, że gdzieś miałem błędne rozumowanie.

Eta: x+y+z=0 x²+y²≥2xy x²+z²≥2xz y²+z²≥2yz + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x²+2y²+2z²≥2xy+2xz+2yz \:2 x²+y²+z²≥xy+xz+yz (x+y+z)²−2xy−2xz−2yz≥xy+xz+yz 0 ≤ 3(xy+xz+yz) /:3 xy+xz+yz≤0

jc: Eta To samo przecież napisałem ...

Eta: Tak samo i nie tak samo