parametr glax: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x²− 4m|x|+ 6m −9 =0 ma takie dwa różne rozwiązania x1 i x2, że x1+x2=0

ZKS: Jakiś pomysł?

Jack: rownanie ma 2 rozne rozwiazania wtedy gdy Δ > 0

	−b
x1 + x2 −>>ze wzorow Viete'a =
	a

Jack: w delcie ta warotsc bezwzgledna nic nie zmieni natomiast we wzorach viete'a owszem rozpatrz dwa przypadki dla 1) x<0 oraz 2) x≥0

ZKS: To równanie może mieć nawet cztery rozwiązania.

Jack: faktycznie... czyli rozpatrujemy Δ = 0

glax: Jack robiłem już tak co innego mi wyszło, powinno wyjść m ∊ (−∞,1¹₂)∪{3}

glax: do postu 18:48

glax: jakieś pomysły?

ZKS: To pytanie ja Tobie dałem.

glax: niestety nie wiem jak to zadanie rozwiązać

ZKS: Niech |x| = t, wtedy mamy równanie postaci 4t² − 4mt + 6m − 9 = 0 dwa różne rozwiązania dostaniemy, kiedy Δ = 0 ∧ t_o > 0 Δ = 16m² − 16(6m − 9) = 16(m² − 6m + 9) = 16(m − 3)²

	−4
16(m − 3)2 = 0 ⇒ m = 3 ∧ −		> 0 ⇒ m = 3
	16

∨ Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0

	6m − 9		3
16(m − 3)2 > 0 ⇒ m ∊ R \ {3} ∧		< 0 ⇒ m <
	4		2

glax: dzięki za rozwiązanie możesz jeszcze wyjaśnić dlaczego takie założenia?

ZKS:

	−4m
W jednym miejscu winno być −		> 0.
	16

glax: ZKS objaśnisz, podasz jakąś stroną gdzie będzie to wytłumaczone?

ZKS: Może Jack Ci powie i wyjaśni dlaczego takie założenia dałem. W tym roku, o ile się nie mylę zdaje maturę.

glax: dlaczego pomijamy x1+x2=0

Jack: dla Δ = 0

	1
nie powinno byc		* t0 > 0 ?
	2

ZKS: Jeżeli nic nie napisze to Ci wyjaśnię. Zostawię chwilę czasu dla was, abyście mogli sami się zorientować, dlaczego tak.

ZKS:

	1		1
Jack to nic nie zmienia poza tym		to +		to = to suma pierwiastków
	2		2

i wzór Viete'a.

Jack: no wiec dla Δ = 0 t₁ + t₂ = 2t₁ dlatego wg mnie 1/2 powinna byc i wtedy > 0 dla Δ >0 to wiadomo w rownaniu kwadratowym mamy 2 rozwiazania, jednak nasze rownanie ma w pewnym miejscu |x| dlatego bysmy otrzymali 4 rozwiazania. 2 rozwiazania otrzymamy wtedy gdy jedno bedzie ujemne, a drugie dodatnie, wtedy nam jedno "odpadnie" bo nie bedzie nalezec do dziedziny.

ZKS:

	1
Wcale nie powinna być ta		, zakładam, że rozwiązanie będzie dodatnie i tyle. Jedynie co
	2

mogło by być to 2t_o = t_o + t_o, ale jak napisałem to nic nie zmienia. Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste w tym równaniu, co innego, że takie równanie będzie sprzeczne.

Jack: sadzilem ze ta sume wziales ze wzorow viete'a... t₀ > 0

	−b
wiec		> 0
	2a

ale z tego co widze to w mianowniku masz 16, czyli to na pewno nie sa wzory viete'a...chyba ze wlasnie uwzgledniles ta polowke... bo jak mamy np. (x−3)² = x² −6x + 9 to

	6
x1 + x2 =		= 6
	a

ale x₁ = 3 = x₂ wiec mamy 2 razy ten pierwiastek

	1		−b
dlatego powinnismy zrobic		(x1+x2) =
	2		a

Jack: ostatnia linijka oczywiscie bledna chodzilo mi ze

1
	(x1+x2) >0 to jest 1 pierwiastek
2

ZKS: Widocznie jest chochlik bo nawet 2 • 4 nie da nam 16. Sam sobie zaprzeczasz teraz, skoro x₁ = x₂ = 3 to

	b
x1 + x2 = 2x1 = 2 • 3 = 6 = −		, a równanie wygląda x2 − 6x + 9 = 0, wiec się zgadza,
	a

	1		b
natomiast		(x1 + x2) = x1 = 3 = −		zgodnie ze wzorem na pierwiastek dla Δ = 0,
	2		2a

	b
a wzór Viete'a dla x1 + x2 to −		.
	a

Jack: no jest ok, czyli tam byl chochlik i chodzilo mi oto wlasnie ze

	−b
jesli x1 = x2 to x1 =
	2a

ZKS:

glax: up! ktoś wytłumaczy te założenia?

ZKS: Czego dokładnie nie rozumiesz?

glax: nie ogarniam dlaczego takie założenia

ZKS: To napisz, czego dokładnie nie rozumiesz w tych założeniach.

glax: dlaczego t_o>0 i w następnym t₁t₂<0

ZKS: Co oznacza taki warunek, że t_o > 0 dla Δ = 0?

glax: Δ=0 jeden pierwiastek t_o>0 tego nie rozumiem

ZKS: Co oznacza t_o, co to jest?

glax: podwójny pierwiastek funkcji?

ZKS: Dokładnie pierwiastek, a jeżeli mamy taką nierówność t_o > 0, to co to oznacza w takim wypadku?

glax: większe od zera

ZKS: Dokładniej, co większe od zera?

glax: pierwiastek większy od zera, czemu akurat tak?

ZKS: Podstawialiśmy na początku |x| = t, prawda? Teraz jeżeli dostalibyśmy rozwiązanie t o = −1 i wrócili z podstawieniem, czyli t = |x| = −1 to, czy takie równanie miałoby rozwiązanie?

glax: dotarliśmy do sprzeczności, czyli t=|x|=−1 nie ma rozwiązania

ZKS: Dokładnie, więc wiadomo już dlaczego taki warunek?

glax: OK, już ogarniam ten warunek

ZKS: Zatem jest to już jasne?

glax: t₁t₂ czyli jeden pierwiastek dodatni i jeden ujemny, tak? z czym jest to związane?

ZKS: Tak, dokładnie. Mamy otrzymać dwa różne rozwiązania w równaniu 4x²− 4m|x|+ 6m − 9 = 0, zatem po podstawieniu za |x| = t i założeniu, że t₁t₂ > 0, otrzymamy w sumie cztery pierwiastki wracając z podstawieniem, a jeżeli byśmy wcale nie dali tego założenia, to moglibyśmy otrzymać dowolną liczbę pierwiastków. Rozumiesz?

glax: i wszystko jasne jeszcze raz dzięki za wytłumaczenie

ZKS: Nie ma za co, proszę bardzo.

Robert: Przepraszam, że się wetnę w temat ale mam pytanie do tego zadania. Nie do końca rozumiem dlaczego przyjmujemy Δ = 0 Jeśli bymy przyjmowali, że Δ > 0 to dla x ≥ 0 funkcja miałaby dwa rozwiązania i dla x < 0 miałaby dwa rozwiązania, w sumie cztery i dlatego przyjmujemy delte równą 0? O to w tym chodzi?