coś ze stereometrii damorka: Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej i wysokości h a) wyznacz pole przekroju prostopadłościanu płaszczyzną przechodzącą przez przekątne sąsiednich ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka, jeśli wiadomo, że kąt między nimi ma miarę α b) Wyznacz α, tak aby pole przekroju prostopadłościanu płaszczyzną przechodzącą przez przekątne sąsiednich ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka było równe P= ^h2₂ d= a√2 na razie obliczyłam tyle, że b=^h_√cosα a= h √^1−cosα_cosα i co dalej?

Anna: Pomogę. Ale skąd Ty wzięłaś te wyniki na b i a ? Pokażę swoje rozwiązanie.

damorka: układ równań z twierdzenia cosinusów oraz tw. pitagorasa z góry dzięki

Anna:

	1
a) Dane: α, h P=? P =		*b2sinα
	2

	d/2		α
		= sin
	b		2

	a√2   2		α
		= sin
	b		2

	α
a√2 = 2bsin
	2

	2b		α		α
a =		sin		= b√2sin
	√2		2		2

Z trójkąta na ścianie bocznej mamy: b² = h² + a²

	α
Czyli po podstawieniu: b2 = h2 + 2b2sin2
	2

	α
b2 − 2b2sin2		= h2
	2

	α
b2(1 − 2sin2		) = h2
	2

	h2
b2 =
	α   1 − 2sin2   2

	1		h2		h2sin2α
Zatem: P =		*		*sinα =
	2		α   1−2sin2   2		α   2(1−2sin2 )   2

b) poślę oddzielnie

Anna:

	h2
b) Dane: h, P=		α=?
	2

	1
P=		b2sinα
	2

	1		h2
Czyli		b2sinα =		/*2
	2		2

	h2
b2sinα = h2 ⇒ sinα =
	b2

Stosując tw. Pitagorasa do trójkąta na ścianie bocznej mamy: b² = h²+a² Po podstawieniu za b² mamy:

	a2
h2 + a2 =
	1 − cosα

	a2
h2 =		− a2
	1−cosα

	1
a2(		− 1) = h2
	1−cosα

	1−1+cosα
a2 *		= h2
	1−c0sα

	cosα		h2(1−cosα)
a2 *		= h2 ⇒ a2 =
	1−cosα		cosα

	a2		h2(1−cosα)   cosα
Wtedy b2 =		=		=
	1−cosα		1−cosα

	h2(1−cosα)		1		h2
=		*		=
	cosα		1−cosα		cosα

	h2		cosα
Zatem: sinα =		= h2*		= cosα
	h2   cosα		h2

sinα = cosα ⇒ α = 45⁰

Anna: Opuściłam jeden wątek (przepraszam i dokładam). Przed tw. Pitagorasa trzeba wstawić: Ze wzoru cosinusów: d² = b² + b² −2b²cosα (a√2)² = 2b² − 2b²cosα 2a² = 2b²(1 − cosα)

	a2
a2 = b2(1−cosα) ⇒ b2 =
	1−cosα

damorka: oo dzięki wielkie muszę na spokojnie przeanalizować

Anna: Gdy coś nie będzie jasne, to pisz.

Eta: witaj Anno Mogę podać swoje rozwiązanie tego zad ? Widzę ile się napracowałaś ..... mam nieco krótszy sposób rozwiązania

Anna: Witaj Eta . Nie potrzeba pytać, tylko pisać. Inne pomysły mile widziane.

Eta: No to podam ( choć kluczyłaś wokół tego rozwiązania wykorzystuję Twoje oznaczenia: P= ¹₂b²*sinα ze wzoru cosinusów: w tym przekroju: d² = b² +b² −2b²*cosα i d² = 2a²

	a2
2a2 = 2b2( 1 −cosα) => b2 =
	1−cosα

teraz z tw. Pitagorasa w trójkacie w ścianie:

	a2
b2 = H2 +a2 =>		− a2 = H2
	1−cosα

	a2( 1 −1 +cosα)
to:		= H2
	1−cosα

	a2*cosα
		= H2
	1−cosα

	H2( 1−cosα)
to a2 =
	cosα

	H2(1−cosα)		H2
więc b2=		=
	cosα(1−cosα)		cosα

	h2		h2*tgα
więc P= 12		*sinα=
	cosα		2

teraz prosto już

	H2		H2
w b)		=		*tgα
	2		2

więc tgα= 1 => α= 45^o

Anna:

damorka: dzięki wielkie Anno i Eto obie bardzo mi pomogłyście ja właśnie obliczyłam a i b sposobem Ety, tylko potem pole mi wcale a wcale nie chciało wyść Teraz mam już 2 sposoby rozwiązania Będę pamiętała na maturze (mam nadzieję )

Eta: Anna Oczywiście Twoje rozwiązanie jest jak najbardziej poprawne ale gdybyś w polu podanym przez Ciebie ;

	H2 *sinα
P=
	1 − 2sin2α2

zastosowała podstawienie za 2sin^2α₂= 1 −cosα

	H2*sinα		h2*sinα		H2
zatem: P=		=		=		*tgα
	1 −1 +cosα		cosα		2

bo wtedy łatwiej podać rozwiązanie do przykładu b) bo mamy tgα P.S: te uwagi podaję dla damorki Pozdrawiam

Anna: Powodzenia na maturze, najpierw próbnej. Już za kilka dni!

damorka: no, jak na razie pisałam tylko podstawową z CKE

damorka: i dziękuję jeszcze raz

Anna: Eta, oczywiście zgadzam się. Po prostu nie przewidziałam potrzeby punktu b). A Sylwestra spędzamy na forum ?

Eta: Tak na forum Oczywiście Tylko przydało by się , by młodzież wrzuciła trochę zadań bo co będziemy robić Młodzi ...... pamiętajcie o tym !

Godzio: chcecie moge wam załatwić pare trudych, który chce zrobić a których nie omawialiśmy na lekcji

Eta: A co Ty będziesz robić ......... balujesz jutro ?

Godzio: naczy jeszcze na 100% nie wiem ale sie zobaczy

Godzio: wszystko zależy od koleżanki

Eta: He,he.... ach te koleżanki ( zmienne są )

Godzio: pożyjemy zobaczymy

Eta: Dawaj zadania .... bo co będziemy robić ( zadań nie ma na forum a w niedzielę to juz nie pomagam ( a będzie pewnie "wysyp"

Godzio: Wyznacz te wartości parametru m dla których oba rozwiązania równania mx² −(m²+m+1)x +m+1 =0 są większe od 1 to takie na wstęp i zaraz powróce tylko dokończe coś robić

Godzio: narazie tylko to próbowałem jutro rano popatrze na te zadania które nie zabardzo rozumiem i bym je powżucał tutaj tak myślałem o takich założeniach: Δ>0 x₁+x₂>0 x₁*x₂>0

Eta: Za mało bo dodatnie też mogą być między ( 0, 1)

Eta: 1 ) m≠0 2) Δ >0 ..... męczyła tę deltę i wreszcie wymęczyłam ( sprytna m€ R \{0} 3) x_w >0 .... m>0 4) f(1) >0 bo ramiona paraboli do góry z warunku 3) wyszła mi odp: m€ ( 0,1)

Godzio: o właśnie ten ostatni warunek też dawałem tylko że coś nie chciało mi wyjść a ta delta to w odpowiedziach ją wyliczyli

damorka: ja też z przyjemnością wrzucę jeszcze kilka zadań, bo mieliśmy przez święta zrobić 4 matury z matematyki, a co do kilku zadań z rozszerzonego mam wątpliwości ale to później wrzucę