równanie różniczkowe Radzio: Rozwiąż równanie (x − 2y)y' = 2x − y Jaki warunek początkowy należałoby zadać, by otrzymać rozwiązanie postaci x²−xy+y²=0

jc: Rozwiązaniem jest y spełniające równość: x² − xy + y² = C Różniczkując uzyskamy nasze równanie różniczkowe: (2x − y) − (x−2y)y' =0. x²−xy+y²=0 definiuje funkcję y określoną w jednym punkcie x=0, y(0)=0. Takiej funkcji nawet nie można zróżniczkować, bo jak?

Radzio: dzięki

Mariusz: To jest równanie jednorodne więc wystarczy podstawić y=ux aby rozdzielić zmienne (x−2y)y'=2x−y y=ux y'=u'x+u (x−2ux)(u'x+u)=2x−ux x(1−2u)(u'x+u)=x(2−u) (1−2u)(u'x+u)=2−u (1−2u)u'x+u(1−2u)=2−u (1−2u)u'x=2−u−u+2u² (1−2u)u'x=2−2u+2u² (1−2u)u'x=2(1−u+u²)

1−2u		2
	u'=
1−u+u2		x

2u−1		2
	du=−		dx
1−u+u2		x

ln|u²−u+1|=−2ln|x|+C₁

	C2
u2−u+1=
	x2

x²u²−xux+x²=C₂ y²−xy+x²=C

jc: Mariusz Myślę, że nie warto stosować procedur, jak widać rozwiązanie.

	y2 − x2
Tu nie widać: y' =		. Próbuj.
	2xy