Rownania Magda: Jak to rozwiązać? 5x⁵ − 10x² +5X=0 5x³ −7x² + 3x−3=0

Jack: a) + 5X? podziel przez 5...

Magda: Taaa żeby to takie proste było Wychodzi mi 5X(x⁴−2x+1)=0 To w środku hornerem i zostaje 5X(x³−x²)=0 Czyli X=0 lub X =1? Coś mi się wydaje ze to źle zrobiłam

Jack: czy X to to samo co x ? jesli tak to masz 5x⁵ − 10x² + 5x = 0 ///(dzielisz przez 5) x⁵ − 2x² + x = 0 x(x⁴ − 2x + 1) = 0 x = 0 lub x⁴ − 2x + 1 = 0 Te drugie wyrazenie mozna hornerem/pogrupowac : x⁴ − 2x+1 = x⁴ − x − x + 1 = x(x³ −1) − 1(x−1) = = x(x−1)(x²+x+1) − 1(x−1) = (x−1)(x(x²+x+1) − 1) = = (x−1)(x³ + x² + x −1) = stad mamy rozwiazania x = 1 lub x = 0 teraz jeszcze z tego rozwiazanie : (x³ + x² + x −1) = 0

Magda: No to w pierwszym przykładzie dobrze zrobiłam, a jak z drugim? Nie da się tego pogrupowac A hornerem raczej się tego nie zrobi

Jack: szukaj pierwiastkow moze sie jakies znajda... zanasz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych?

grzest: x⁴−2x+1= (x−1)(x³+x²+x−1). Ale dlaczego zmienna x raz jest pisana jako x, by po chwili przybrać postać X, mie mam pojęcia. Wyrażenie trzeciego stopnia w nawiasie ma oczywiście także rzeczywiste miejsce zerowe. Oto ono:

	1		2		1
x =		(17+3 √33)1/3−		1/3−		.
	3		(17+3 √33)		3

Magda: To X to jest x, nie wiem czemu ale autokorekta to zmieniła, użyłam twierdzenia o pierwiastkach wymiernych Wyszły mi takie możliwe miejsca zerowe −3,3,−1,1, 1/5, −1/5, 3/5, −3/5 Ale żadne nie jest równe zeru chyba robie cos zle

grzest: Równanie 5x³ −7x² + 3x−3=0 nie ma rozwiązań w liczbach wymiernych, dlatego metoda dzielników nie dała pozytywnych wyników. Istnieją ogóne metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia, np. za pomocą wzorów Cardano. Jedyny pierwiastek rzeczywisty tego równania ma postać:

	1
x =		(7+(883−45 √385)1/3+(883+45 √(385)1/3)≈1,2945.
	15

Istnieją jeszcze dwa pierwiastki zespolone.

grzest: Przepraszam, powinno być:

	1
x=		[7+(883−45 √385)1/3+(883+45 √385)1/3].
	15