Podnoszenie obu stron do kwadratu - trygonometria i nie tylko Kawasd: Hej! Mam pytanie może głupie i z oczywistą odpowiedzią, ale powiem szczerze, ze już kompletnie zglupialem i ktoś musi mi wytłumaczyć elementarna rzecz Podam tutaj konkretne zadanie ale liczę na odpowiedź ogólną dotyczącą tej kwestii Polecenie: Kąt a jest taki, że cosa+sina=4/3. Oblicz wartość wyrażenia |cosa−sina|. Otóż takie niby oczywiste rozwiązanie to podniesienie obu stron do kwadratu a dalej to już prosto ale co mnie zastanawia to czy przypadkiem nie ma zasady, że aby podnieść równanie do kwadratu, to obie strony muszą być nieujemne? A przecież nie da się wykazać ze cosx+sinx jest zawsze nieujemne wiex dlaczego możemy wykonać taki myk? Jak to wiex jest z tym podnoszeniem obu stron do kwadratu? Trzeba pisać jakieś założenia i uwzględniać 2 przypadki? Już kompletnie mózg mi zglupial jak się zacząłem zastanawiać nad czymś tak podstawowym.. Z góry dzięki za odp

Janek191:

4
	> 0 więc i cos α + sin α > 0
3

Janek191:

4
	> 0 więc i cos α + sin α > 0
3

Kawasd: No dobra, ale to w takim razie skąd powiedzenie "podnoszę do kwadratu bo obie strony są nieujemne" ? Idąc tym tokiem, który zaproponowales, wystarczy że jedna strona jest nieujemna, bo przecież druga jest jej równa więc oczywiście też będzie tego samego znaku. To po co się mówi w ogóle o dwóch stronach? Naprawdę już zglupialem, bo też tak pomyślałem jak Ty, no ale przecież wtedy ta formułka nie miałaby za bardzo sensu.

PW: Jeżeli funkcjonuje w waszej szkole "powiedzenie": − Podnoszę do kwadratu bo obie strony są nieujemne. to szybko o tym zapomnij. Podnoszenie obu stron równości do kwadratu to normalne wnioskowanie i nie trzeba niczego uzasadniać. Co stoi na przeszkodzie z równości x = −7 wyciągnąć wniosek x² = (−7)² ? Wniosek jest poprawny i nic nie trzeba zakładać. Powtarzam: wniosek, nie równoważność. Poprawne jest rozumowanie (x = −7) ⇒ (x² = (−7)²). Odwrotne wynikanie nie jest prawdziwe, ale przecież nie mówimy o czymś takim. W omawianym zadaniu nie ma żadnych przeszkód, żeby wnioskować: |cosα − sinα|² = (cosα − sinα)² = cos²α+sin²α − 2sinαcosα = 1 − 2sinαcosα oraz

	4		16		7
(sinα + cosα =		) ⇒ (sin2α + cos2α + 2sinαcosα =		) ⇒ (2sinαcosα =		)
	3		9		9

i w równości |cosα − sinα|² =1 − 2sinαcosα

	7
podstawić po prawej stronie zamiast 2sinαcosα liczbę		:
	9

	2
|cosα − sinα|2 =
	9

i znów poprawnie wnioskować:

	2		√2
(|cosα − sinα|2 =		) ⇒ (|cosα − sinα| =		).
	9		3

Silnie wpojone przekonanie, że nie wolno podnosić do kwadratu, odnosi się do rozwiązywania równań i przede wszystkim nierówności, bo po tej operacji otrzymujemy równanie (nierówność), które mogą być nierównoważne z początkową. A w rozwiązywanym powyżej zadaniu przecież nie rozwiązujemy ani żadnego równania, ani nierówności − liczymy wartość pewnego wyrażenia (nieujemnego z założenia).