Całki student: Jak zabrać się ta taką całkę ? ∫x²√x²+9

5-latek : najproscie to zajrzeć do notatek i książki Może w książce masz rozwiązany podobny przykład . Nie zartuje

xyz: Niestety nie mam jeśli bym miała w notatkach to bym zrobiła dawno temu

Mila: 1) Można metodą wsp. nieoznaczonych po przekształceniu:

	x2*(x2+9)
=∫		dx
	√x2+9

albo 2) Podstaw:

	3dt
x=3tg(t), dx=
	cos2t

	3dt
∫9tg2(t)*√9tg2(t)+9*		=
	cos2t

	tg2(t)*√tg2(t)+1
81∫		dt= ...
	cos2t

przekształcamy pod pierwiastkiem

	sin2t		sin2t+cos2t		1
[tg2t+1=		+1=		=		]
	cos2t		cos2t		cos2(t)

	tg2(t)		sin2t
...=81∫		dt=81∫		dt=..
	cos3(t)		cos5(t)

próbuj dalej sama.

ICSP: Podstawienie x = 3sh(t)

student: Dzięki

Mila: Metoda wsp. nieoznaczonych:

	x4+9x2
∫		dx=
	√x2+9

Przewidujemy, że rozwiązanie ma postać:

	A
=(ax3+bx2+cx+d)*√x2+9+∫		dx różniczkujemy obustronnie:⇔
	√x2+9

x4+9x2
	=
√x2+9

	x		A
(3ax2+2bx+c)√x2+9+(ax3+bx2+cx+d)*		+		⇔
	√x2+9		√x2+9

x4+9x2		(3ax2+2bx+c)(x2+9)+ax4+bx3+cx2+dx+A
	=		⇔
√x2+9		√x2+9

x⁴+9x²=3ax⁴+2bx³+cx²+27ax²+18bx+9c+ax⁴+bx³+cx²+dx+A⇔ x⁴+9x²==4a*x⁴+3b*x³+(2c+27a)x²+(18b+d)x+9c+A porównujemy wsp.

	1
4a=1⇔a=
	4

3b=0⇔b=0

	9
2c+27a=9⇔c=
	8

18b+d=0⇔d=0

	81
9c+A=0⇔A=−
	8

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−stąd:

	x4+9x2		1		9		81
∫		dx=(		x3+		x2)*√x2+9−		∫U{1}{√x2+9 dx=
	√x2+9		4		8		8

	1
=		*[(2x3+9x2)*√x2+9−81*ln|x+√x2+9|]+C
	8