Gałąź jednoznaczna funkcji uwikłanej Marcin: Wyznacz punkty przestrzeni, przez które przechodzi gałąź jednoznaczna funkcji uwikłanej z=z(x,y) określonej rownaniem: x²z+yz² + 1=0 oraz wyznacz w tych punktach pochodne cząstkowe funkcji z rzędu pierwszego i drugiego. Jak rozwiązać zadania tego typu? Poproszę o pomoc

jc: Twierdzenie o funkcji uwikłanej. F(x,y,z) = x² z + y z² + 1. Warunek F_z ≠ 0. z_x = − F_x/F_z, z_y = − F_y/F_z. Możesz zróżniczkować swoje równanie (powtórka fragmentu dowodu). z=z(x,y) 0 = (x² z + y z² + 1)_x = 2x z + x² z_x + 2 y z z_x. z_x = − 2xz /(x² + 2y) Podobnie znajdujesz z_y, z_x,y, z_xx, z_yy.

Marcin: Trochę nie rozumiem. To gdzie są te punkty? oraz tego równiania 0= ....

jc: x² z + y z² + 1 = 0. Z tego równania można wyliczyć z=z(x,y) i różniczkować wynik. Ale możemy postąpić prościej. O z=z(x,y) wiemy, że spełnia równanie x² z + y z² + 1 = 0. Różniczkujemy 0=x² z + y z² + 1 zgodnie z regułami różniczkowania pamiętając, ze z=z(x,y). 0 = (x² z + y z² + 1)_x = 2x z + x² z_x + 2 y z z_x. z_x = −2xz /(x² + 2yz) (poprzednio umknęło mi z) A co do punktów. Może dam 2 proste przykłady F(x,y) = x² − y² = 0, F(x,y)=x−y²=0. W obu zadaniach nie wyliczymy y=y(x) w otoczeniu 0. Narysuj i zobaczysz problem z jednoznacznością. W obu przypadkach F_y = −2y = 0 w punkcie (0,0). W swoim zadaniu dopuszczasz wszystkie punkty takie, że x² z + y z² + 1 =0, poz tymi dla których x² + 2yz = 0. Mała litera u dołu oznacza pochodną cząstkową.