Optymalizacja Pirat: Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 1. Ile wynosi maksymalne pole takiego trójkąta? Podstawiłem pod wzór Herona P=√p(p−a)(p−b)(p−c) Następnie obliczyłem to wszystko i za c podstawiłem 1−a−b No i coś takiego mi wyszło 8a²b+8ab²−4a²−4b²−12ab+4a+4b−1 I po obliczeniu delty wychodzą niezłe ceregiele. Proszę o pomoc lub alternatywę ,wszystko się ceni

ICSP: Boki : a , b , √a² + b² , 0 < √a² + b² < 1 , a , b > 0 a + b + √a² + b² = 1 √a² + b² = 1 − a − b a² + b² = 1 + a² + b² − 2a − 2b + 2ab 2ab − 2a − 2b + 1 = 0 2a(b − 1) = 2b − 1

	2b − 1
a =
	b − 1

P = ...

jc: Zastosuj nierównośc: średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna (równość dla równych elementów)

(p−a) + (p−b) + (p−c)
	≥ [(p−a)(p−b)(p−c)]1/3
3

Pirat: Czyli korzystam ze wzoru 1/2absinα i do przodu?

jc: 2p = (a+b+c)=1 [(p−a)+(p−b)+(p−c)] / 3 = (3 p − 2p)/3 = p/3 = 1/6 1/6 ≥ [(p−a)(p−b)(p−c)]^1/3 (równość dla a=b=c) (1/6)³ ≥ (p−a)(p−b)(p−c) (1/2)(1/6)³ ≥ p(p−a)(p−b)(p−c) = Pole²

	1		1
Pole ≤		=		(równośc dla a=b=c = 1/3)
	(2*63)1/2		12 √3

Pirat: Ale nie może być a=b=c=1/3 bo to jest trójkąt prostokątny?

jc: nie zauważyłem To nie korzystamy z Herona. Tylko tak jak napisał ICSP x+y+√x²+y² = 1, P=xy/2 Zamiast liczyć próbowałbym uzasadnić, że największe pole ma trójkąt równoboczny.

jc: Jakoś tak: x² + y² ≥ 2xy (równośc dla x=y) √x²+y² ≥ √2xy x+y ≥ 2√xy 1 = x+y + √x²+y² ≥ (2+√2)√xy

1		xy
	≥		= P
2(2+√2)2		2

Pirat: ICSP masz błąd w ostatniej linijce jak wyciągałeś przed nawias to zostało 2a a nie a.

Pirat: Dzięki jc rozwiązałem sposobem ICPS i wyszło identycznie