dowod Dasza: wykaz ze jesli 0<x<1/2 to 2x+1/x²>5

yyhy:

2x+1		2		1
	=		+
x2		x		x2

	1		1		1
Skoro x<		⇒		>2 oraz		>22=4
	2		x		x2

	2		1
zatem		+		>2*2++4=8
	x		x2

	2x+1
więc		>8
	x2

Jack:

	1
x ∊ (0;		)
	2

Pytanie czy rownanie wyglada

2x+1
	> 5
x2

CZY

	1
2x +		> 5
	x2

yyhy:

	1
chyba, że jest 2x+
	x2

Dasza: to drugie 2x + (1/x/²)>5

yyhy: mozesz liczyc pochodne?

Dasza: niee mam wykazac ze jesli 0<x<1/2 to...

yyhy: Jeżeli tak, to odpodiwedz jest w 1 zdaniu

	1		1
Funkcja jest malejąca w przedziale (0,		) i osiąga minimum w
	2		2

	1		1
(2*		+		=5)
	2		0.52

yyhy: Ja Cie rozumiem...ale pytam, czy umiesz liczyć ekstrema, badanie zmienności funkcji ...? Patrz wyżej

yyhy:

	1
(oczyiscie minimum dla przedziału (0,		]
	2

Dasza: chodzilo mi o rowzwiazanie rowniem bez pochodnej

yyhy: Dobra.! Zaraz pomysle nad tym bez pochodnych

yyhy:

	1		2x3+1
Niech f(x)=2x+		=
	x2		x2

	1
Oczywiście f(		)=4
	2

Wystarczy zatem pokazać, że funkcja jest malejąca od 0 do 1/2

	1
Czyli, że jeżeli 0<x<y<		⇒f(x)<f(y)
	2

Narazie ok

Dasza: tak

yyhy: mialo byc oczywiście f(x)>f(y)

yyhy: MALEJĄCA!

yyhy:

	2x3+1		2y3+1
f(x)−f(y)=		−
	x2		y2

	x3y2+y2−y3x2−x2
=2(		)
	x2y2

Naszym celem jest pokazać, że f(x)−f(y)>0 ( czyli f(x)>f(y) ) Czyli pasuje pokazać, że x³y²+y²−y³x²−x²>0 x³y²+y²−y³x²−x² =(x³y²−y³x²)+(y²−x²) =x²y²(x−y)−(x+y)(x−y) =(x−y)(x²y²−x−y) x<y więc x−y<0 więc wystarczy pokazać, że x²y²−x−y<0 narazie ok

yyhy: No to teraz wystarczy coś takiego

	1
x,y∊(0,		)⇒(xy)2<x+y
	2

Jak sie zastanowisz...to jest to oczywiste