Wektory Tomson: Proszę o pomoc w zadaniu : Dla trójkąta utworzonego z wektorów a,b,c zachodzi oczywista relacja a+b+c=0. Stosując własnosci iloczynu wektorowego udowodnij twierdzenie sinusów: a/sinα=b/sinβ=c/sinγ , gdzie α,β,γ są odpowiednimi kątami tego trójkąta. Korzystając z własności iloczynu skalarnego udowodnij twierdzenie cosinusów: a2 + b2 − 2ab cos γ = c2.

Bbbc 00: STOSUJEMY DEFINICJA ILOCZYNU WEKTOROWEGO: 1.− oznaczenie: iloczyn wektorowy wektorów a i b to aXb (jest wektorem) a jego długości |aXb| = |a| |b| sin (kąt między a i b) w trójkącie o "boków" a, b,c:z treści zadania mamy że: z wyrażenie U{a}[sinα} mamy,że kąt przeciwległej do a jest α tzn. kąt między b i c to jest α . analogicznie; kąt między a i c to jest β. kąt między a i b to jest γ. jeśli bierzemy pod uwagę boki a,b długość wysokości odpowiedni do a to :

	1
|b| sin sin (kąt między a i b), stąd pole trójkąta =		|a||b| sin(kąt między a i b)kąt
	2

między a i b)

	1
pole trójkąta =		|a||b| sinγ
	2

	1		1
a więc pole trójkąta=		|aXb| =		|a||b| sinγ ; analogicznie:
	2		2

	1		1
pole trójkąta=		|aXc| =		|a||c| sinβ
	2		2

	1		1
pole trójkąta=		|bXc| =		|b||c| sinα
	2		2

	1		1		1
a więc pole trójkąta =		|bXc|=		|aXc|=		|bXc|
	2		2		2

	1		1		1
stąd		|b||c| sinα =		|a||c| sinβ =		|b||c| sinγ
	2		2		2

|b||c| sinα = |a||c| sinβ = |b||c| sinγ dzielimy stronami przez |a| |b||c|

	sin α		sin β		sin γ
mamy		=		=		odwrotności tych ułamków
	|a|		|b|		|c|

	|a|		|b|		|c|
jest również prawdziwy:		=		=
	sinα		sinβ		sin γ

UWAGA jeśli a, b, c są wektory nie można pisać a/sinα w tw sinusów w tej twierdzenie chodzi o długosci boków trójkątów i to tw. jest uogólnienie tw. THALESA A DRUGA CZEŚĆ JEST UOGÓLNIENIE TW PITAGORASA. TEŻ Z DEFINICJI ORAZ NORMA SUMA WEKTORÓW.