równanie liniowe z parametrem guwernant: Witam was serdecznie Przerabiam sobie zbiór A.Kiełbasy i natknąłem się na zadanie: Rozwiąż równanie a²(x−1) − ab = b²(x+1) + ab, gdzie a i b są parametrami. Oczywiście przekształciłem to równanie do postaci:

	a+b
x =
	a−b

Kiedy wyznaczam oba parametry: a i b, kiedy równanie posiada rozwiązanie, ma nieskończenie wiele rozwiązań i nie posiada rozwiązania robię błędy w tego typu zadaniach. Czy jest jakiś sposób żeby to pewnie wyliczyć?

PW: (a²−b²)x = a²+b²+2ab (a²−b²)x = (a+b)² i mówisz "oczywiście"? A gdyby a+b = 0?

Mila: a²x−a²−ab=b²x+b²+ab a²*x−b²x=2ab+a²+b² (a²−b²)*x=(a+b)²⇔ (a−b)*(a+b)*x=(a+b)² 1) a²−b²≠0⇔równanie posiada jedno rozwiązanie

	(a+b)2		a+b
x=		⇔x=
	(a−b)*(a+b)		a−b

2) a²−b²=0 (a−b=0 lub a+b=0) a=b lub a=−b a) Jeżeli a=b to mamy sytuację: 0*(a+b)*x=(b+b)² 0*x=2b² jesli b=0 to mamy nieskończenie wiele rozwiązań bo równanie 0*x=0 jest spełnione dla dowolnego x∊R Jeżeli a=b i b≠0 to równanie sprzeczne ⇔brak rozwiązań 0*x=b² lewa równa 0 a prawa różna od zera b) a=−b (−b−b)*0*x=0² 0*x=0 jest nieskończenie wiele rozwiązan.

guwernant: No właśnie tu się zawahałem, czyli na przyszłość nie rozkładać tego do postaci ułamkowej? I. Równanie posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy: a+b ≠ 0 i a² − b² ≠ 0 II. Równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy (a² − b²) = 0 i (a+b)² = 0. III. Równanie nie posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy (a+b)² ≠ 0 i (a²−b²) = 0. Dobrze myślę?

Mila: Jednak trzeba rozwiązać te warunki. 1)a²−b²≠0⇔ |a|≠|b| jedno rozwiązanie 2) a=b i b≠0 brak rozwiązań to masz wyjaśnione wyżej 3) a=−b równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Też masz wyjaśnione.

PW: To "rozłożenie do postaci ułamkowej" (źle nazwane) było po prostu dzieleniem obu stron równania − a to ma jak wiadomo ograniczenia, nie wolno dzielić przez 0, stąd cala dyskusja.