prawdopodobieństwo Dżin: Dany jest n−elementowy zbiór M. Spośród wszystkich niepustych oraz rozłącznych par podzbiorów zbioru M losujemy jedną parę. Znaleźć prawdopodobieństwo p_n tego, że wylosowaliśmy taką parę zbiorów których suma nie jest równa zbiorowi M.

jc: Zakładamy, że wszystkie pary podzbiorów, o których piszesz są jednakowo prawdododobne. Takich par jest 3ⁿ (przy każdym elemencie M decydujemy, czy wziąć go do I podzbioru, do II podzbioru, czy zostawić). Intersujących nas par jest 2ⁿ. Wniosek p_n = (2/3)ⁿ.

Dżin: Nie sądzę aby to było poprawne rozwiązanie, ze względu na drugą część zadania, którą chciałem zrobić sam, jeśli ktoś mi wytłumaczy pierwszą część. Oto druga część zadania: " Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że p_n≥0,99 " To zadanie jest z ubiegłorocznego finału konkursu PW, więc łatwe być nie może

jc: Masz rację, policzyłem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Powinno być p_n = 1 − (2/3)ⁿ Teraz odpowiedź na drugie pytanie jest jasna.

jc: Co to jest konkurs PW?

Dżin: To jest konkurs PW: https://konkurs.mini.pw.edu.pl/

jc: Jeśli to szkolny konkurs, to wypadałoby jakoś uzasadnić, że 1 − (2/3)ⁿ ≥ 0.99 począwszy od pewnego n. To nie jest trudne. Co na temat mówi się teraz w szkole?

Dżin: Myślę, że wystarczyłoby policzyć granicę przy n→∞

jc: Oczywiście, że tak, ale nie wiem, czy teraz mówi się coś o granicach.

Dżin: Oczywiście, że się mówi Są w programie nauczania.

jc: A oto wyjaśnienie pierwszej części zadania (jakoś mi umkneło). Dla przykładu wezmę n=5, M={a,b,c,d,e}, A = pierwszy zbiór, B = drugi zbiór Zbiór wszystki par (A,B). Tworzysz pary zbiorów A, B. Możesz to robić tak: przy każdym elemencie decydujesz, czy znajdzie się w A, w B, czy w ogóle go nie wykorzystasz, np. a ∊ A, b ∊ B, c − nie wykorzystany, d ∊ A, e ∊ A czyli A={a,d,e} B={b}. Takich mozliwości jest 3⁵ (masz 3 możliwe decyzje w sprawie elementu "a", niezleżnie co zdecydujesz, masz 3 mozliwości w sprawie "b", itd. ). Zdarzenie przeciwne do tego, o którym mowa w zadaniu polega na tym, że AUB = M Tym razem masz przy każdym elemcie masz 2 możliwościw wyboru − trafi do A lub trafi do B. Dlatemgo mamy 2⁵ możliwości.

Dżin: Mam wybrać spośród rozłącznych i NIEPUSTYCH par, więc jeśli tworzę pary zbiorów A, B, to nie może być takich sytuacji, że każdy element nie został wykorzystany lub jeden ze zbiorów A, B jest pusty. czyli: A={a,b,c,d,e} B jest pusty wtedy mam 2ⁿ możliwości ponieważ wybieram między zbiorem A bądź możliwością niewykorzystania danego elementu oraz: A jest pusty, B jest pusty, {a,b,c,d,e} − niewykorzystane, czyli jedna taka sytuacja Chyba powinno być 3ⁿ−2ⁿ−1

	2n
pn = 1 −
	3n−2n−1

jc: Masz rację. Faktycznie, nie zwrócilem uwagi na to, że podsbiory mają być niepuste. W takim razie |Ω| = 3ⁿ − 2*2ⁿ + 1. Zasada włączania−wyłaczania: od wszystkiego odejmuję przypadki, kiedy A jest pusty, kiedy B jest pusty, ale w tens sposób 2 razy odejmuje przypadek, kiedy A i B są puste. Licznik chyba też trzeba zmienić: 2ⁿ − 2. Odejmujemy dwa przypadki, kiedy A jest pusty i kiedy B jest pusty. Teraz

	2n − 2
P = 1 −
	3n − 2*2n + 1

Dobrze byłoby sprawdzić np. dla n = 4; wtedy wzór daje 2/5.

Dżin: Teraz już wszystko gra, dzięki za pomoc

	18
Dla n=4 wzór daje		, co także sprawdziłem
	25