równoliczność, matematyka dyskretna, studia Maćko95: Potrzebuje pomocy z wykazaniem równoliczności takich zbiorów. Wykaż równoliczność zbiorów A i B przyjmując, że: A = (0,1) x (0,1) B = (0,1) Wiem jak to się robi dla zbiorów, np: A= (0,1) i B=(0,1] , ale z takim czymś mam jednak problemy.

ikd: Przedział (0,1) jest równoliczny ze zbiorem 2^ℕ, tj. ze zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów zer i jedynek. Niech zatem f:(0,1)→2^ℕ będzie bijekcją między tymi zbiorami. Ustalamy odwzorowanie g:(0,1)x(0,1)→2^ℕ określone jako g(x,y)_n:= f(x)_n, jeśli n jest parzyste lub f(y)_n, jeśli n jest nieparzyste. Pozostaje tylko pokazać, że takie odwzorowanie jest bijekcją.

Maćko95: Jakieś wskazówki, jak można pokazać, że te odwzorowanie g w f są bijekcją?

ikd: Weź dowolne dwie pary liczb z przedziału (0,1), np (x₁,x₂)≠(y₁,y₂). Wtedy zachodzi x₁≠y₁ lub x₂≠y₂, więc f(x₁)≠f(y₁) lub f(x₂)≠f(y₂). Z tego będzie wynikać, że ciągi g(x₁,x₂) oraz g(y₁,y₂) muszą się różnić od siebie w pewnym miejscu. Dalej pokazujesz, że dla każdego ciągu ze zbioru 2^ℕ istnieje para liczb, dla której dany ciąg jest wartością funkcji g.