#workout 10 PrzyszlyMakler: Zadanie na 6 z dziś. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność; x⁸ + x⁶ −4x⁴ + x² + 1 ≥ 0 I doszedłem do czegoś takiego: w(1) = 0 Więc; (x⁸ + x⁶ −4x⁴ + x² + 1): (x − 1)= x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ −2x³ −2x² − x − 1 I mój spostrzegawczy umysł dostrzegł, że; x⁶(x+1) +2x⁴(x+1) −2x²(x+1) −1(x+1) Lecz nie wiem jak to zsumować. Mając tylko dwa takie nawiaski było banalnie, a 4 nigdy w życiu nie umiałem. Pomożecie dokończyć?

Metis: Nie lepiej pochodna?

5-latek : (x+1)(x⁶+2x⁴−2x²−1)

PrzyszlyMakler: Był już dzwonek, więc nie skończyłem i miałem na to zadanie około 2 minuty na lekcji, i zrobiłem x² = t i obliczyłem pochodną z t i nauczycielka powiedziała, że pochodna gówno by mi dała.

5-latek : Pewnie tak nie powiedziała

PrzyszlyMakler: z tego nawiasu: x⁶ + 2x⁴ −2x² − 1 mogę dac x² = t i będe miał wielomian 3 stopnia, więc wystarczy, że raz zrobię twierdzenie bezout, czy musze robić tw. bezout 4x? XD Czy z podstawieniem za t wyjdzie mi dobry wynik?

PrzyszlyMakler: Cytuje: "Pochodna bada monotoniczność funkcji." Jak się da to spoko, ja tego nie kwestionuje, a interesu w kłamaniu nie mam..

azeta: oczywiście, ale też za pomocą pochodnej znajdziemy ekstrema −> jesli wykażemy, że są nieujemne to dlaczego by nie? na maturze w tamtym roku było podobne, w kluczu na pewno było rozwiązanie z pochodną

PrzyszlyMakler: Pogadam z nią jutro. Zapytam o rozwiązanie z pochodną tego zadania, a pomożecie je dokończyć?

PrzyszlyMakler: ###Help###

PW: Rozwiązanie jest proste, jeżeli znamy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (dla czterech nieujemnych składników): L(x) = (x⁸ + x⁶ + x² + 1) − 4x⁴ ≥ 4⁴√x⁸ · x⁶ · x² · 1 − 4x⁴ = = 4⁴√x¹⁶ − 4x⁴ = 4x⁴ − 4x⁴ = 0, co było do wykazania.

jc: x⁸ + x⁶ − 4 x⁴ + x² +1 = (x⁴−1)² + x² (x²−1)² ≥ 0