Dowód Menszczyzna : Jak udowodnic ze (n²+1) jest podzielna przez 5 dla wszystkich naturalnych?

Eta: Napisz porządnie treść zadania ! To co napisałeś , to bzdura np: dla n=1 n²+1= 2 −− nie jest podzielna przez 5

Menszczyzna : Mam udowodnic ze n(n+1)(n−1)(n²+1) jest podzielna przez 30 , a pierwsze 3 nawiasy dziela sie przez 6 wiec chcialem udowodnic ze n²+1 jest podzielne przez 5 co dalo by dowod.

Eta: To źle główkujesz ! n(n−1)(n+1)(n²+1) = n(n−1)(n+1)(n²−4+5) = = n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]= (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5n(n−1)(n+1) = 5k , k∊C Dodaj teraz komentarz co do pierwszego składnika i otrzymasz to co masz udowodnić Powodzenia w następnych dowodach P.S Na przyszłość podawaj pełną treść zadania ( anie swoje błędne improwizacje

Eta: To źle główkujesz ! n(n−1)(n+1)(n²+1) = n(n−1)(n+1)(n²−4+5) = = n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]= (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5n(n−1)(n+1) = 5k , k∊C Dodaj teraz komentarz co do pierwszego składnika i otrzymasz to co masz udowodnić Powodzenia w następnych dowodach P.S Na przyszłość podawaj pełną treść zadania ( anie swoje błędne improwizacje

Menszczyzna : A gdybym pod n wstawil 5k+1 i 5k+2 po czym obliczyl i przy k+2 zachodzi podzielnosc w przypadku n²+1 to czy jest to poprawny dowód

Karol00: musiałbyś chyba jeszcze sprawdzić dla 5k+3 i 5k+4

Menszczyzna : Ale przeciez sprawdzanie dla 5k+3 to nic innego jak 5k+2+1 a 5k+4 to 5k+2+2

jc: To małe twierdzenie Fermata dla liczby pierwszej p=5: 5 | n⁵ − n

Menszczyzna : Fajne twierdzenie a znasz moze jakis latwy dowod zeby moc go zastosowac na maturce bo te na wiki troche zagmatwane jak na liceum

jc: Masz rację, choć dowód nie jest trudny. Jeden z dowodów wygląda tak: (n+1)⁵ = n⁵ + 5 n⁴ + 10 n³ + 10 n² + 5 n + 1 (trójkąt Pascala) (n+1)⁵ − (n+1) = 5(n⁴ + 2 n³ + 2 n² + n) + n⁵ − n Zatem, jeśli 5| n⁵ − n, to 5 | (n+1)⁵ − (n+1) A ponieważ 5 | 1⁵ − 1, to podzielność zachodzi dla każdego n. Ale może nie ma już indukcji?

Eta: Takiego dowodu w jednym słowie : z małego twierdzenia Fermata zachodzi teza nie uznają na maturze .... 0pkt