#workout 9 PrzyszlyMakler: Wyznacz te wartości parametru m (m∊R) dla których równanie ma cztery różne rozwiązania. (x² − x − 2)[x² + (m − 3)x + 1] = 0 Z pierwszego nawiasu mamy x = −1, x = 2 Czyli w drugim nawiasie x≠2 i x≠−1, a Δ>0 (m−3)² −4 >0 m² − 6 m + 5 > 0 Czyli m ∊ (∞− ; 1) u (5 ; +∞) Tylko należy wykluczyć 2 i −1, ale nie wiem jak to zrobić.. Proszę o pomoc.

PrzyszlyMakler: Proszę o szybkie naprostowanie.

PW: A zwyczajnie policzyć, czy istnieją m ∊ (−∞, 1)∪(5, ∞), dla których x₁ = −1 lub x₁ = 2 lub x₂ = −1 lub x₂ = 2. Jeżeli istnieją − wykluczyć je.

PrzyszlyMakler: Trzeba liczyć 4x takie coś:

	−m+3 + √m2 −6m + 5
		≠ 2
	2

−m+3 − √m2 −6m + 5
	≠ 2
2

−m+3 + √m2 −6m + 5
	≠ −1
2

−m+3 − √m2 −6m + 5
	≠ −1
2

?

PW: Na szczęście już maturę zdałem. Rozwiązuj równości, nie zapominając o dodaniu do każdej z nich dziedziny m ∊ (−∞, 1)∪(5, ∞).

PrzyszlyMakler: Ale aż 4x? I nie ma szybszego sposobu?

PrzyszlyMakler: up

Eta: Dwa pierwiastki już mamy x₁= −1 , x₂=2 Dwa pozostałe mają być różne od tych, które już mamy to Δ>0 ⇒ m∊(−∞, 1) U (5, ∞) i teraz zobaczmy co będzie jeżeli są równe w/w to x₃+x₄= −1+2= 1 zatem x₃+x₄ ≠ 1 i x₃*x₄= (−1)*2= −2 x₃*x₄= −2 ze wzorów Viete^'a x₃+x₄= −m+3 ≠ 1 ⇒ m≠2∊(−∞, 1) U (5,∞) x₃*x₄= 1 ≠ −2 zatem Odp : m∊(−∞, 1)U (5,∞)

Eta: Poprawiam zapis ma być : x₃*x₄≠ −2

Eta: Hmmm chyba coś nie tak ? A jak x₃= −3 x₄= 4 to x₃+x₄=1 Kto się wypowie

Metis: A musimy wzorami Viete'a?

Mila: Wypowiem się za chwilę.

Eta: Poszłam na "skróty"

Metis: (x²−x−2)[x² + (m−3)x + 1] = 0 Szukamy 4 różnych rozwiązań. x²−x−2=0 v x² + (m−3)x + 1=0 x = −1 v x = 2 Zatem czynnik kwadratowy z parametrem m musi mieć dwa różne pierwiastki różne od pierwiastków pierwszego czynnik. Zatem: x² + (m−3)x + 1=0 Δ>0 x≠−1 i x≠2 Δ=(m−3)²−4=(m−5)(m−1) Δ>0 ⇔ (m−5)(m−1)>0 m∊(−∞, 1) U (5, +∞) x≠−1 i x≠2 , stąd : f(−1)≠0 i f(2)≠0

	1
m≠5 i m≠
	2

I ograniczyć nasz przedział

Eta:

Eta: I właśnie dlatego.......... wolę planimetrię

Mila: Δ>0⇔m∊(−∞, 1)∪ (5,∞) [x² + (m − 3)x + 1] = 0 x=−1 1−(m−3)+1=0 m−3=2 m=5 ∉dziedziny m obliczonej z warunku Δ>0 x=2 4+2*(m−3)+1=0 2(m−3)=−5 m−3=−2.5

	1
m=		∊(−∞,1) zatem to należy wkluczyć
	2

stąd:

	1		1
m∊(−∞,		)∪(		,1)∪(5,∞)
	2		2

========================

Metis:

Eta: No i Metisek mnie "przechytrzył"

Metis:

Mila: Bo Metisek to nasz młody matematyk.

Metis: Dziękuje za miłe słowa Ale matematyk ze mnie taki jak z koziej ...