#workout 8 PrzyszlyMakler: Więc zaczynamy wielogodzinny maraton z równania z parametrami. Mało w swoim życiu robiłem takich zadań, więc możliwe, że nie mam podstawowych informacji, więc proszę o pomoc. Dla jakich wartości parametru p (p∊R) roównanie ma dwa różne rozwiązania. (x−3)[x² − 2(2p + 1)x + (p+2)²] = 0 Z pierwszego nawiasu wiem, że jednym z rozwiązań będzie 3, więc aby były dwa rozwiązanie, to ten trójmian z drugiego musi dawać jedno rozwiązanie, więc Δ=0. (4p + 2)² − 4(p+2)² = 0 ... p = 1 p = −1 A w odpowiedziach jest p= −1 i p = 7.

Metis: Szukamy jednego rozwiązania równania: x²−2(2p + 1)x+(p+2)²=0 którym nie może być x=3

Metis: Lub Δ>0 i x=3 dla równania kwadratowego.

PrzyszlyMakler: (−4p −2)² − 4(p + 2)² = 0 16p² +16p + 4 − 4(p² + 4p + 4) = 0 16p² +16p + 4 −4p² − 16p − 16 = 0 12p² −12 = 0 12(p² − 1) = 0 p = 1 p =−1

PrzyszlyMakler: Mógłby ktoś powiedzieć co robię źle? :X

Metis: A założyłeś warunek, który podałem?

PrzyszlyMakler: Naprawdę nie rozumiem.. Po co mi warunki, skoro mi wyszły wyniki? W dodatku nie mam pojęcia dlaczego są one złe.

Metis: Powtórzę. Szukamy różnych rozwiązań podanego równania. x=3 Zatem szukamy jednego rozwiązania równania: x²−2(2p + 1)x+(p+2)²=0 którym nie może być x=3 oraz może się zdarzyć przypadek, że Δ>0 i x=3

PrzyszlyMakler: Dla p=1 x≠3 x² −2(3)x + 3² = 0 x² −6x + 9 = 0 Δ= 36 − 36=0 x₀ = 6/2 = 3 Nie spełnia założeń, bo 3 jest rozwiązaniem dla pierwszego. dla p= −1 x² −2(−1)x + 1 = 0 x² +2x + 1 = 0 Δ= 4 − 4 = 0 x₀ = −2/2 = −1 Spełnia. Dla p=−1 mamy dwa różne rozwiązania. Ale jak zdobyć to drugie rozwiązanie jakie jest w odpowiedziach czyli 7?

PrzyszlyMakler: Dla p=1 x≠3 x² −2(3)x + 3² = 0 x² −6x + 9 = 0 Δ= 36 − 36=0 x₀ = 6/2 = 3 Nie spełnia założeń, bo 3 jest rozwiązaniem dla pierwszego. dla p= −1 x² −2(−1)x + 1 = 0 x² +2x + 1 = 0 Δ= 4 − 4 = 0 x₀ = −2/2 = −1 Spełnia. Dla p=−1 mamy dwa różne rozwiązania. Ale jak zdobyć to drugie rozwiązanie jakie jest w odpowiedziach czyli 7?

Metis: Czy ja tak niewyraźnie piszę? Załamać się idzie. Rozwiąże Ci już całe... Dla jakich wartości parametru p (p∊R) równanie ma dwa różne rozwiązania (x−3)[x²−2(2p + 1)x+(p+2)²]=0 (*) (x−3)[x²−2(2p + 1)x+(p+2)²]=0 x−3=0 lub x²−2(2p + 1)x+(p+2)²=0 x=3 lub x²−2(2p + 1)x+(p+2)²=0 Jednym z rozwiązań równania jest x=3 zatem poszukujemy jednego rozwiązania czynnika kwadratowego którym nie jest x=3 lub czynnik kwadratowy ma 2 rozwiązania, z których jednym jest x=3. Ad. 1) Δ=0 i x≠3 [−2(2p + 1)]²−4*1*(p+2)²=12(p−1)(p+1) Δ=0 ⇔ 12(p−1)(p+1)=0 p=1 v p=−1 x≠3 , stąd: f(3)≠0 f(3)≠0 ⇔ 3²−6(2p + 1)+(p+2)²≠0 p≠1 v p≠7 , ostatecznie p=−1 Ad 2) Δ>0 i x=3 Δ=12(p−1)(p+1) Δ>0 ⇔ 12(p−1)(p+1)>0 p∊(−∞,−1) U (1,+∞) x=3 , stąd f(3)=0 f(3)=0 ⇔ 3²−6(2p + 1)+(p+2)²=0 p=1 v p=7 p=1 nie należy do (−∞,−1) U (1,+∞) Ostatecznie : p=7 Odpowiedź ostateczna : Równanie ma dwa różne rozwiązania dla p=1 oraz p=7.

fd: ππΔ

PrzyszlyMakler: Rozumiem i bardzo dziękuję