nowa era rutinoscorbin: Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie |x−a³|+|x−4|=4−a³ ma co najmniej 13 rozwiązań całkowitych. Czy w tym zadaniu chodzi o wyznaczenie jakiegoś przedziału który będzie zawierał 13 rozwiązań całkowitych? Proszę o jakąś wskazówkę odnośnie tego jak powinenem zabrać się za takie zadanie.

PW: Nie wdając się w szczegóły można powiedzieć, że na pewnych przedziałach równanie może mieć postać\: (1) x − a³ + x − 4 = 4 − a³ lub (2) − x + a³ − x + 4 = 4 − a³ lub (3) x − a³ − x + 4 = 4 − a³ lub (4) − x + a³ + x − 4 = 4 − a³. Równania (1) i (2) są równaniami liniowymi o niezerowych współczynnikach przy x, mają więc tylko po jednym rozwiązaniu. Równanie (3) ma postać 4 − a³ = 4 − a³, jest więc spełnione dla wszystkich x z dziedziny (musimy − jak słusznie piszesz − ustalić tę dziedzinę, będzie to odpowiedź, bo jest tam nieskończenie wiele rozwiązań). Dziedziną równania (3) jest zbiór takich x, dla których x − a³ ≥ 0 i x − 4 ≤ 0 − trzeba ustalić tę dziedzinę, tak dobierając a, by dziedzina była przedziałem, a nie zbiorem pustym czy jednopunktowym. Równanie (4) ma postać − (4 − a³) = 4 − a³ i jest spełnione dla wszystkich x z dziedziny, pod warunkiem że 4 − a³ = 0, tzn. a = ³√4. Dla tej liczby a zadane równanie ma jednak postać |x − 4| + |x − 4| = 0 |x − 4| = 0 i ma tylko jedno rozwiązanie.

PW: Uwaga. Trochę za mało napisałem o dziedzinie równania (3). Przedział musi być "dostatecznie długi", aby zmieściło się w nim 13 liczb całkowitych.