nowa era 2016 Damian: Oblicz tgα+tgβ+tgγ wiedząc że α,β,γ są kątami w trojkącie oraz tgα, tgβ,tgγ są liczbami naturalnymi. Ktoś poradzi jak się zabrać za takie zadanie?

pomoc 00: Ponieważ α , β , γ są katami w trójkącie to tg( α +β + γ )= tg180^o .......(A) ponieważ tg180^o =0 to stąd tg( α +β + γ )= 0 .........(B)

	tgα+tgβ
wiemy, że tg(α+β) =		pisują stosowne dla trzy kąty : α ; β ; γ
	1−tgα tgβ

	tgα + tgβ + tgγ− tgα tgβ tgγ
to otrzymamy tg( α+β+γ) =		...(C)
	1− tgα tgβ−tgα tgγ−tgβ tgγ

to (B) w (c ) mamy tgα + tgβ + tgγ− tgα tgβ tgγ =0 ⇒ tgα + tgβ + tgγ = tgα tgβ tgγ ponieważ tgα ; tgβ ; tgγ są liczbami naturalnymi rożne od zera to α ; β ; γ ∊(0 ; 90^o) jeśli oznazcamy tgα = a; tgβ = b ; tgγ = c to mamy a+b+c= a.b.c; gdzie a ; b ; c ∊ ℕ \ {0} szukamy takich a, b, c ∊ ℕ \ {0} to a+b+c= a.b.c przykład pewnej analizy: gdy 1.− a=nieparzysta to b+c= b.c − nieparzysta − czy b i c mogą być oba parzysty odp: nie − czy mogą być jedna z nich parzysta a drugi nieparzystej opd: tak np.(a, b,c) =(1,2,3) to a+b+c= 6=6=a.b.c −czy oba mogą być nieparzysty odp: tak np. najmniejsza trójka (a,b,c)= (1,1,1) to a+b+c=3≠1=a.b.c zwiększajmy jedna z nieparzystych np (3,1,1) to a+b+c=5≠3=a.b.c znowu zwiększamy jedna z nich np.(3,3,1) to a+b+c=7≠9=a.b.c nie ma takich a,b,c nieparzyste jednocześniespełniających warunek a+b=c=a.b.c 2.− a=parzysta to b+c= b.c − parzysta czy b i c mogą być oba parzysty odp: tak np. (a,b,c)=(2 , 2 , 2) ale a+b+c= 2+2+2≠ 8 =a .b .c nie ma takich liczb; bo jeśli a; b ;c ≥2 to jest nie spełniają warunek a+b+c=a.b.c czy mogą być jedna z nich parzysta a drugi nie parzystej opd:nie czy oba mogą być nieparzysty odp: tak np. (a,b,c)= (2 , 1, 1) a+b+c= 2+1+1 =4 ≠ 2= 2. 1. .1 =a.b.c ale zwiększamy jedna z nieparzystej być może to (a,b,c) = (2, 1, 3) to a+b+c =6= a.b.c a wiec a,b,c są : jedna parzysta a dwa pozostałe nieparzyste np. trójki :różne a,b,c ∊{1,2,3} t.że mamy, że a+b+c = 6=a.b.c odp. (a,b,c) to będą permutacji 3 elementowe ze zbioru {1,2,3}

jc: a,b,c ∊{1,2,3,...} abc = a + b + c Uporządkumy boki a ≤ b ≤ c. Wtedy abc ≤ 2c, ab ≤ 2. Mamy 3 możliwości: a=1, b=1, c = 2+c, sprzczność a=1, b=2, 2c = 3 + c, c=3 a=1, b=3, 3c = 4+c, c=2, sprzeczność z założeniem o uporządkowaniu Odpowiedzą są więc permutacje ciągu (1,2,3).

jc: Oj, nie ten klawisz wcianąłem (zamiast 3 wyszło 2). Już poprawione. a,b,c ∊{1,2,3,...} abc = a + b + c Uporządkumy boki a ≤ b ≤ c. Wtedy abc ≤ 3c, ab ≤ 3. Mamy 3 możliwości: a=1, b=1, c = 2+c, sprzczność a=1, b=2, 2c = 3 + c, c=3 a=1, b=3, 3c = 4+c, c=2, sprzeczność z założeniem o uporządkowaniu Odpowiedzą są więc permutacje ciągu (1,2,3).

pomoc 00: Uwaga a,b,c nie są bokami trójkąta my szukamy suma =a+b+c = tgα+tgβ+tgγ= 6 odp. tgα+tgβ+tgγ= 6

jc: No, dobrze, nie są bokami, ale tangensami. Tym niemniej reszta jest o.k.