Znajdź wymiary pudełka - funkcja kilku zmiennych M.: Materiał użyty do zrobienia górnej podstawy pudełka (prostopadłościan) jest 6 razy droższy niż materiał użyty do zrobienia ścian bocznych i dolnej podstawy. Objętość prostopadłościanu wynosi 28. Znajdź wymiary pudełka, dla których cena za materiał jest najmniejsza. Jaka jest minimalna cena za pudełko, jeśli cena za jednostkę kwadratową wynosi 19 euro centów? Bardzo proszę o pomoc. Próbowałam dwa razy, za każdym razem zły wynik. Robiłam jako funkcję trzech zmiennych i dalej Lagrange − ostateczna cena wychodzi mi z pierwiastkiem trzeciego stopnia.

kochanus_niepospolitus: Na początek trzeba zauważyć, że minimalna cena będzie dla odpowiedniej proporcji pomiędzy polem powierzchni podstawy (górna z droższego + dolna z tańszego) do sum pól powierzchni bocznych. Na razie zostawmy wyliczenie tej proporcji, ale zastanówmy się nad tym: kiedy górna podstawa będzie 'najtańsza' ... odpowiedź ... kiedy będzie ona kwadratem (łatwo to wykazać −−− funkcja jednej zmiennej). Tak więc, tenże prostopadłościan ma wymiary a,a,h. I teraz:

	28
V = 28 = a2*h −> h =
	a2

C(a,h) = a² + 6a² + 4ah = 7a² + 4ah

	112
można więc zapisać: C(a) = 7a2 +
	a

I to jest Twoja funkcja ceny zależna tylko od jednej zmiennej.

	112		14a3 − 112
C'(a) = 14a −		=
	a2		a2

C'(a) = 0 ⇔ a = 2

	28		28
h =		=		= 7
	a2		4

więc mamy wymiary: 2,2,7 Pola: a² + 4ah = 4 + 56 = 60 [j²] tańszego a² = 4 [j²] droższego 60*0,19 + 6*4*0,19 = 84*0,19 = 15,96 euro Mocno ułatwiło sprawę wstępne wykazanie, że podstawa MUSI być kwadratem −−− należy to odpowiednio opisać (mój opis NIE JEST wystarczający). Możesz też zbudować funkcję ceny zależnej od dwóch zmiennych (a,b) i liczyć pochodną funkcji dwóch zmiennych. Winno wyjść to samo Sprawdźmy:

	56		56
c(a,b) = 7ab +		+
	a		b

	56
c'a = 7b −
	a2

	56
c'b = 7a −
	b2

z układu równań:

⎧	c'a=0
⎩	c'b=0

wychodzi a=2 i b=2 i to jest punkt w którym później sprawdzasz czy będzie minimum (jak już wiemy ... będzie tam minimum). Nie wiem dlaczego robiłaś funkcję trzech zmiennych. Jeżeli tak robiłaś to nie stosowałaś nigdzie (w funkcji ceny) warunku odnośnie objętości tegoż pudełka. PS. To w jaki sposób doszedłem do funkcji ceny c(a,b) pozostawiam już Tobie do wydedukowania. Podpowiem tylko, że zrobiłem analogicznie do tego co wcześniej przy tworzeniu funkcji C(a).

M.: Teraz widzę... Robiłam jako funkcję trzech zmiennych, bo zadanie powinno tego dotyczyć. Moja nauczycielka z liceum by się załamała Dziękuję bardzo za pomoc!