pochodne zef: Macie może jakąś fajną pochodną do policzenia ? Najlepiej bez funkcji i logarytmów ale jakąś z trudniejszych

zef:

yht:

	3(x−4)2
f(x) =
	1−x

zef:

	−3x2+6x+24
liczyłem na 2 sposoby i wyszło mi
	1−2x+x2

zef: t=x−4

	((t)2)'(1−x)−(x−4)2(−1)
3*
	(1−x)2

	2t*t'(1−x)−(x2−8x+16)(−1)
3*
	1−2x+x2

	(2x−8)(1)(1−x)+x2−8x+16
3*
	1−2x+x2

	2x−2x2−8+8x+x2−8x+16
3*
	1−2x+x2

	−x2+8+2x
3*
	1−2x+x2

−3x2+6x+24
1−2x+x2

Dobrze ?

yht: jest ok to teraz masz takie na myślenie: f(x) = [(x+1)²−2x−1]²⁰¹⁶

zef: [x²]²⁰¹⁶ x⁴⁰³² 4032x⁴⁰³¹ ?

yht: dobrze jesteś w liceum ?

zef: tak, 2 klasa, pochodne będę miał za rok

zef: Jakiś jeszcze może fajny przykład znajdziesz ?

yht: taki jesteś, to masz z treścią, a co

	x2−3x+2
Udowodnij, że jeśli f(x) =		to dla każdej liczby rzeczywistej x≠2 spełniona
	2x−4

jest nierówność f'(x)>0

zef:

(2x−3)(2x−4)−(x2−3x+2)(2)
4x2−16x+16

4x2−8x−6x+12−2x2+6x−4)
4x2−16x+16

2x2−8x+8
4x2−16x+16

1
	>0
2

yht: no nie wiem czym cię moge zagiąć normalnie Oblicz współczynnik kierunkowy prostej, która jest styczna do wykresu funkcji y=x³−1 w punkcie x₀=−4.

zef: Póki co dawałeś jakieś łatwe pochodne Ale tego zadania nie wiem nawet niestety jak zacząć, ale domyślam się że będzie trzeba to liczyć z definicji, jedyne co próbowałem to: y1=y2 x³−1=ax+b −64−1=−4a+b −65=−4a+b Ale to chyba był zły kierunek myślenia

yht: ok, to może trochę inaczej. Pewnych rzeczy nie omówiliśmy żeby takie rozwiązywać a chciałem obadać − może i to ogarniasz To na razie zapomnijmy o tym. Wrócimy jeszcze do tego −−−− Masz funkcję g(x) = x²+6x. Policz g'(x), a potem g'(2), g'(5), g'(1), g'(−6), i na koniec g'(−3). Podaj wyniki

zef: x²+6x pochodna z tego to: 2x+6 g'(2)=10 g'(5)=16 g'(1)=8 g'(−6)=−6 g'(−3)=0

jakubs: https://matematykaszkolna.pl/strona/360.html

zef: liczyłem już te wszystkie pochodne do momentu kiedy pojawiły się funkcje trygonometryczne

yht: dobra. g'(2)=10 co z tego właściwie wynika ? że g(x)=x²+6x jest rosnąca dla argumentów z przedziału niedaleko x=2, czyli tak jakby x∊(1.99 , 2.01) Co więcej, gdyby fragment paraboli x²+6x dla x∊(1.99 , 2.01) przybliżyć linią prostą, to byłaby to prosta y=ax+b będąca wykresem funkcji rosnącej, oraz jej współczynnik kierunkowy będzie równy a=10 Wniosek: Współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu g(x)=x²+6x w punkcie x₀=2 jest równy a=10 Jaka będzie styczna do wykresu funkcji g(x)=x²+6x w punkcie x₀=−3 ?

zef: g(x)=x²+6x g'(x)=2x+6 g'(−3)=0 a=0 ?

yht: tak, wobec tego styczna w punkcie x0=−3 jest prostą ....... do osi OX

yht: uzupełnij

zef: równoległą, tylko jak wyznaczyć równanie tej prostej ?

zef: b=(−3)²+6(−3) b=9−18 b=−9 ?

yht: Skorzystaj z tego, że do równania stycznej (o równaniu y=b) należy punkt styczności S=(−3,y_S), który to punkt styczności należy też do paraboli g(x)=x²+6x. Wniosek ?

yht: bardzo dobrze zatem równanie stycznej to y=−9 To teraz wracamy do zadania z x³−1

zef: Oblicz współczynnik kierunkowy prostej, która jest styczna do wykresu funkcji y=x³−1 w punkcie x0=−4. f(x)=x³−1 f'(x)=3x²−1 f'(−4)=47 a=47 y=ax+b 47(−4)+b=(−4)³−1 −188+b=−64−1 b=123 y=47x+123 Wyszło mi coś takiego ale nie jestem pewny

yht: f'(x) bez tej −1 na końcu ale idea dobra, tak sie rozwiązuje takie zadanka

zef: aa faktycznie taką prostą pochodną zawaliłem , to pewnie dlatego że nie byłem pewien jak takie coś liczyć

zef: Dziękuję za pomoc rozumiem z tego już dużo więcej, odezwę się jeszcze jutro, jak znajdziesz czas to możesz mi napisać jakieś fajne zadanka

yht: pewnie

	1
1. Prosta y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji g(x) =		x4+13x w punkcie x0=−2. Oblicz
	4

wartości współczynników a i b.

	1
2. Styczna do wykresu wielomianu W(x) =		x3 + px2 + 4x + r w punkcie x0=3 ma równanie
	3

y=−11x+8. Oblicz wartości współczynników p, r. −−− Odpowiedzi: 1. a=5, b=−12 2. p=−4, r=−10

zef:

	1
g(x)=		x4+13x
	4

g'(x)=x³+13 g'(−2)=−8+13 g'(−2)=5 y1=y2 y1=5(−2)+b y1=−10+b y2=1/4(−2)⁴+13(−2) y2=4+(−26) y2=−22 y1=y2 −10+b=−22 b=−12 y=5x−12 Zad.2 W(x)=1/3x³+px²+4x+r x₀=3 W'(x)=x²+2px+4 W'(3)=−11 W'(3)=9+6p+4 9+6p+4+r=−11 6p=−24 p=−4 y1=−11x+8 y2=x²+2px+4 −11(3)+8=1/3x³+px²+4x+r −33+8=9+(−4)(3)²+12+r −25=9+(−36)+12+r −25=−10+r r=−10 Jakoś wyszło

zef:

yht: To teraz spróbuj się zmierzyć z takimi bardziej złożonymi zadankami. Utrwalisz sobie pochodne i połączysz je z innymi działami

	1−x
3. Punkt A=(xA, −2) należy do wykresu funkcji g(x)=		. Znajdź równanie stycznej do
	1+x

wykresu funkcji g(x) w punkcie A. 4. Odległość punktu P=(m, m+1) od początku układu współrzędnych jest równa 5. Punkt P należy do

	1
wykresu funkcji g(x)=		x3+k. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji g w punkcie P.
	2

Rozważ wszystkie przypadki. −−− Odpowiedzi: Zad. 3

	1		7
y=−		x−
	2		2

Zad. 4

	27		73
y=24x+93 lub y=		x−
	2		2

zef: x≠−1

	−2
g'(x)=
	1+2x+x2

−2
	=−2
1+2x+x2

−2=−2−4x−2x² −2x²−4x−2+2=0 −2x²−4x=0 2x²+4x=0 2x(x+2)=0 x=0 lub x=−2 Hmmm nie wiem co tu dalej robić A za 2 nawet nie wiem jak się zabrać

yht:

	−2
Niepotrzebnie rozwiązujesz		=−2 (to trzeba by rozwiązać gdyby punkt A należał do
	1+2x+x2

wykresu g'(x), a on należy do g(x)) trzeba zatem rozwiązać g(x)=−2, a nie g'(x)=−2

zef:

	1−x
−2=
	1+x

−2−2x=1−x −x=3 x=−3 A co dalej ? g'(−3) ?

yht: dokładnie

zef:

	1
g'(−3)=−
	2

	1
a=−
	2

b=?

	1
−		(−3)+b=1−x/x+1
	2

3/2+b=1−x/x+1 3/2+b=4/−2 3/2+b=−2 b=−3,5

	1
y=−		x−3,5
	2

A jak z tym zadaniem drugim ?

Metis: f'(3)=−11

zef: hmm ?

yht: wykorzystaj wzór na długość odcinka o podanych końcach (m,m+1) i (0,0). Miałeś już geometrię analityczną w szkole ?

zef: geometria jeszcze przede mna

yht: Metis, my rozmawiamy o zad. 2 (w naszym domyśle to jest zad. 4 a nie 2)

yht: a to może sobie to daruj jak geometrii nie było co innego zrobimy zaraz coś podam

yht: Zad. 5

	x−1
Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji f(x) =		i równoległych do prostej o
	x+1

równaniu y = 2x + 1 . Skorzystaj z tego, że proste są równoległe jeśli mają te same współczynniki kierunkowe

zef: a1=a2 2=2 y2=2x+b x≠−1 f'(x)=x+1−(x−1)1/(x+1)² f'(x)=2/(x+1)² 2/x²+2x+1=2 2=2x²+4x+2 2x²+4x=0 2x(x+2)=0 x=0 lub x=−2 b=−1 lub

	x−1
y=2(−2)+b=
	x+1

	−2−1
−4+b=
	−2+1

−4+b=3 b=7 y=2x+7 lub y=2x−1 ?

yht: gitara, wszystko ok Zad. 6

	kx+1
Dana jest funkcja f(x)=		o której wiadomo, że f'(−1)=0,2. Wyznacz równanie
	x+k

	1
wszystkich stycznych do wykresu f(x), które są prostopadłe do prostej o równaniu y=−		x+9
	5

Podpowiedź − zacznij od skorzystania z warunku prostopadłości prostych: a1*a2=−1 −−−− Odp. Szukane styczne to y=5x−14 oraz y=5x−4

zef: Te podpowiedzi takie oczywiste, ja największy mam dylemat czy ta funkcje ktora przetnie sie z 2 funkcja mam brac wlasnie ja czy jej pochodna, tego nie rozumiem. Te zadanie 6 spróbuję jutro po szkole zrobić jak znajdę czas, na dziś już starczy

yht: jasne, do jutra łatwo tutaj znajdziesz wsp. kierunkowy szukanej stycznej, korzystasz więc z tego, że a=f'(x₀) → znasz już "a", musisz znaleźć x₀ tak jak to zrobiłeś w zad. 5, rozwiązując równanie 2/x2+2x+1=2 tylko tu pochodna wyjdzie nieładna, bo z "k". Ale "k" obliczysz z warunku f'(−1)=0,2 i dalej idzie tak jak w zad. 5 tylko że będziesz miał 2 przypadki bo wyjdą dwie liczby x₀

zef: a1*a2=−1 −0,2*a2=−1 a2=5

	kx+1
f(x)=
	x+k

x≠−k

	k−(kx+1)(1)
f'(x)=
	(x+k)2

	k−kx−1
f'(x)=
	(x+k)2

	k−k(−1)
0,2=
	(−1+k)2

	2k
0,2=
	(k−1)2

	2k
0,2=
	(k2−2k+1)

0,2k²−0,4k+0,2=2k 0,2k²−2,4k+0,2=0 //*5 k²−12k+1=0 Δ=144−4 Δ=140 k₁=12−2√35/2=6−√35 k₂=12+2√35/2=6+√35

k−kx−1
	=5
(x+k)2

1 przypadek:

6−√35−(6−√35)x−1
(x+k)2

Czy ja to dobrze robię ?

zef: ref

yht: wybacz, wczoraj zmęczony byłem i na kompa nawet nie wchodziłem.. co do zadanka no niestety

	k−(kx+1)(1)
f'(x)=		masz źle policzoną pochodną
	(x+k)2

i stąd takie brzydkie k₁ k₂ później wychodzą

zef:

	kx+1
f(x)=
	x+k

	k(x+k)−(kx+1)(x)
f'(x)=
	(x+k)2

	kx+k2−kx2+x
f'(x)=
	x2+2kx+k2

Teraz pochodna się zgadza ?

yht: niestety nie na końcu w liczniku masz (kx+1)(x) zamiast (x) powinno być (1) bo pochodna (x+k)' = (1+0) = (1)

zef:

	kx+1
f(x)=
	x+k

	(k)(x+k)−(kx+1)(1)
f'(x)=
	(x+k)2

	kx+k2−kx−1
f'(x)=
	(x+k)2

	k2−1
f'(x)=
	(x+k)2

Teraz powinno być dobrze, tamto pisałem nie do końca trzeźwy Co dalej z tym trzeba zrobić ?

yht: Skorzystaj z f'(−1)=0,2 → wyliczysz k, potem takim samym schematem robisz jak zad. 5 (tylko tam były równoległe, a tu masz prostopadłe)

zef: f'(−1)=0,2

	k2−1
0,2=
	(−1+k)2

	k2−1
0,2=
	k2−2k+1

0,2k²−0,4k+0,2=k²−1 k²−1−0,2k²+0,4k−0,2=0 0,8k²+0,4k−1,2=0 8k²+4k−12=0 Δ=16+384 Δ=400 k₁=−4−20/16=−24/16 k₂=1 Jakoś nie podchodzi mi to zadanie bo znów się zatrzymałem

yht: pod górkę, ale jest ok wniosek − które k jest dobre, a które trzeba odrzucić (i dlaczego ?)

zef: trzeba odrzucić k2=1 bo x≠−k a w tym przypadku było x=−1

yht: ok podstawiasz k=−24/16=−3/2

	k2−1
do f'(x)=
	(x+k)2

ponieważ styczna ma równanie y=5x+b, to musi być f'(x)=5 → rozwiązujesz

zef: f'(x)=5

	−5/4
5=
	(x−3/2)2

	−5/4
5=
	x2−3x+9/4

5x²−15x+45/4=−5/4 5x²−15x+50/4=0 20x²−60x+50=0 i delta ujemna mi wyszła więc coś pomieszałem.

yht: u góry bez minusa przy 5/4

kasia: wiem ze to dla ciebie bedzie bardzo proste ale ja mam z tym rozwiazaniem rownania problemy −pomozesz zef ? 2x(x+1)−2(x²+1)=4(x²−1)−(4x²+2)

zef: 2x²+2x−2x²−2=4x²−4−4x²−2 2x−2=−6 2x=−4 x=−2

zef: Racja W głowie jedno, piszę drugie.. 5x²−15x+10=0 Δ=225−200 Δ=25 x1=15−5/10=1 x2=15+5/10=2 i to są x_o ?

yht: dokładnie. szukasz stycznych y=5x+b w tych dwóch punktach x₀

zef: 5x+b=kx+1/x+k

	−3/2x+1
5x+b=
	x−3/2

dla x₀=1

	−1/2
5+b=
	−1/2

5+b=1 b=−4 dla x₀=2

	−3/2x+1
5x+b=
	x−3/2

	2
10+b=
	−1/2

10+b=−4 b=−14 Jakoś wyszło ale wolałbym wolniej przechodzić do tych trudniejszych zadań

yht: wiem, zaszalałem za bardzo teraz będzie prostsze

yht: Zad. 7 Dana jest prosta k, o równaniu 16x−y−1=0, oraz prosta l, która jest styczna do wykresu funkcji

	2
g(x)=		w punkcie x0=2.
	x2+1

a) wyznacz równanie prostej l, b) wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych k,l. −−− Odp.

	8		26
a) y=−		x+
	25		25

	1
b) (		, 1)
	8

zef: l=ax+b

	2
g(x)=
	x2+1

zał. x²+1≠0 x²≠−1 x∊R

	(0)(x2+1)−(2)(2x)
g'(x)=
	(x2+1)2

	−4x
g'(x)=
	(x2+1)2

	−4*2
g'(2)=
	(22+1)2

g'(2)=−8/25 −8/25= współczynnik a

	2
−8/25x+b=
	x2+1

−8/25*2+b=2/5 −16/25+b=2/5 b=10/25+16/25 b=26/25 y=−8/25x+26/25 B) 16x−y−1=0 y=−8/25x+26/25 16x−(−8/25x+26/25)−1=0 16x+8/25x−26/25−1=0 408/25x−51/25=0 408/25x=51/25 408x=51 x=1/8 y=−8/25(1/8)+26/25 y=−8/200+208/200 y=1 (1/8,1)

yht: Zad. 8 Wykaż, że jeśli a<1, to prosta y=ax+b nie może być styczną do wykresu funkcji y=x(x²+3).

yht: *a<3 zamiast a<1

zef: y=x³+3x y'=3x²+3 3x²+3=a 3x²+3<1 3x²<−2 //3 x²<−2/3 x∊R

zef: 3x²+3<3 3x²<0 x²<0 x∊zbioru pustego

zef: na to samo wyszło w tym pierwszym poście x też do zbioru pustego.

mat: y'=3x² +3 Xwierz. = 0 f(0)=3 co oznacza, że najmniejszą wartością a może być 3, czyli potwierdziliśmy Wstawiłem na forum jedno zadanko z prawdopodobieństwa jakbyście mogli tam zajrzeć i spróbować

yht: na dziś już starczy.. coś zrobimy o krok dalej, odświeżaj temat, jak nie jutro to pojutrze ruszymy z następnymi zadankami

zef: ref

zef: Ma ktoś może jeszcze jakieś zadanie na dziś z pochodnych ?

zef:

zef:

Jerzy: Czas na trudniejszą: f(x) = x^x

Benny: @Jerzy może warto dopisać, że a^b=e^blna?

Jerzy: No to już dopisałeś

Benny:

ods: Nie wiem od czego nawet zacząć Nie umiem jeszcze tych logarytmow naturalnych.

zef: Jakieś łatwiejsze bym poprosił, albo co z tym zrobić

yht: Idziemy o krok dalej: dam ci z rozwiązaniem na początek, żebyś wiedział o co chodzi Zad. 9 Wyznacz równanie wszystkich stycznych do wykresu funkcji g(x) = −x³ które przechodzą przez punkt A=(2,0). Rozwiązanie: y=ax+b − szukana styczna Punkt A=(2,0) należy do stycznej, więc 0=a*2+b czyli 0=2a+b wyliczamy z tego b b=−2a y=ax−2a − szukana styczna Potem liczymy pochodną g'(x)=−3x² Teraz ważne! S = (x₀, −x₀³) − punkt styczności, punkt S należy do wykresu g(x) = −x³ stąd takie ma współrzędne S=(x₀, −x₀³) Punkt S należy też do stycznej y=ax−2a a = g'(x₀) → ale x₀ jest nieznane ! trzeba to x₀ wyliczyć g'(x)=−3x² → g'(x₀) = −3x₀² y= −3x₀² * x −2*(−3x₀²) → po prostu wstawiasz a=−3x₀² do równania stycznej Teraz korzystasz z tego, że punkt S=(x₀, −x₀³) należy do stycznej y= −3x₀² * x −2*(−3x₀²) −x₀³ = −3x₀² * x₀ − 2*(−3x₀²) − rozwiązujesz równanie z niewiadoma x₀ −x₀³ = −3x₀³ + 6x₀² 2x₀³ − 6x₀² = 0 2x₀²(x₀−3)=0 x₀=0 lub x₀=3 będą dwie styczne wstawiasz x₀=0 do a = g'(x₀) a=g'(0) = −3*0² = 0 a = 0 wstawiasz a=0 do równania szukanej stycznej czyli y=ax−2a y=0*x−2*0 y=0 − szukana styczna − nr 1 teraz to samo dla x₀=3 a=g'(3) = −3*3² = −27 a = −27 y=−27x−2*(−27) y=−27x+54 − szukana styczna nr 2 Odp. Szukanymi stycznymi są: y=0 oraz y=−27x+54 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Spróbuj rozwiązać: Zad. 10 Wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji g(x) = x³+1 które przechodzą przez punkt A = (4,1) Odp. y=1 oraz y=108x−431

zef: g(x)=x³+1 A=(4,1) y=ax+b 1=4a+b b=1−4a y=ax+1−4a g'(x)=3x² S=(x₀,x₀³) b=1−4(3x²) b=1−12x² Hmm nie wiem co dalej i czy jest dobrze

yht: S=(x₀,x₀³+1), ze względu na wzór g(x) = x³+1 (Gdyby było g(x)=5x⁴+4x+1, to wtedy S=(x₀, 5x₀⁴+4x₀+1) ) Nie rób b=1−4(3x²), zamiast tego policz a=g'(x₀) → tak jak to było w zad. 9 i wstaw policzone a do równania stycznej y=ax+1−4a następnie skorzystaj z tego że punkt S=(x₀,x₀³+1) należy do stycznej, dostaniesz w ten sposob równanie z jedna niewiadoma x₀