granice funkcji proszę pomoc

granice funkcji Edek: Granice funkcji Proszę o pomoc w tych przykładach:

	x²−√x
a) lim(x→1) =
	√x−1

	√x+16−4
b) lim(x→0) =
	x²

	1+cos(πx)
c) lim(x→1) =
	tg²(πx)

	1−cosx
d) lim(x→0) =
	x²

e) lim(x→^π₂) = (^π₂ −x)tgx

	tgx−sinx
f) lim(x→0) =
	x³

	sin(x−^π₆)
g) lim(x→^π₆) =
	^√3₂−cosx

h) lim(x→^π₂) = (sinx)^tgx

	lnx−1
i) lim(x→e) =
	x−e

	ln(1+cosx)
j) lim(x→^π₂) =
	ln(1+cos3x)

25 gru 17:40

Eta: a) z de L^' Hospitala g(x) =x² −√x , h(x)= √x−1

	g^'(x)
lim
	h^'(x)

	1
g^'(x)= 2x −
	2√x

	1
h^'(x)=
	2√x

 1 
2x −
 2√x 

1

limf(x)= 

= (2x −

)*2√x= 4x√x−1 

1 
2√x 

2√x

limf(x)= 4*1*1 −1= 3 x→1 d) 1 −cosx = 2sin²^x₂

	2 sin^x₂*sin^x₂
to f(x)=
	2^x₂2*^x₂

	sin^x₂
lim		= 1
	^x₂

x →0 to: limf(x)= ¹₂*1*1= ¹₂ x→0

25 gru 22:04

gwiazdka: f)przekształcamy licznik;

	sinx		sinx(1−cosx)
tgx −sinx=		−sinx=		=
	cosx		cosx

	2sin^x₂cos^x₂2sin²^x₂
=
	cosx

	sin^x₂
lim		= 1
	^x₂

x →0

	2sin^x₂sin^x₂sin^x₂cos^x₂
to: lim		=
	2^x₂2^x₂2^x₂*cosx

= 2*1*1*1*¹₈= ¹₄

25 gru 23:02

Dag: g) cos^π₆= ^√3₂ korzystamy ze wzoru

	^π₆+x		x−^π₆
^√3₂−cosx= cos^π₆−cosx= 2sin(		)*sin(		)=
	2		2

= 2sin(^x₂+^π₁₂)*sin(^x₂−^π₁₂) licznik : ze wzoru sinα= 2 sin^α₂*cos^α₂ sin(x−^π₅) = 2sin(^x₂−^π₁₂)*cos(^x₂−^π₁₂) f(x):

2sin(^x₂−^π₁₂)*cos(^x₂−^π₁₂)
	=
2sin(^x₂+^π₁₂)*sin(^x₂−^π₁₂)

	cos(^x₂−^π₁₂)
to: f(x)=
	sin(^x₂+^π₁₂)

	cos0		1
limf(x)=		=		= 2
	sin^π₆		¹₂

x →^π₆

26 gru 14:52

Dag: c) korzystamy ,że 1 +cosα= 2cos²^α₂ to: 1 +cosπx= 2cos²^πx₂

	sin²πx		2sin²^πx₂*cos²^πx₂
tg²πx=		=
	cos²πx		cos²πx

	2cos²^πx₂*cos²πx
to: f(x) =		=
	2sin²^πx₂*cos²^πx₂

	cos²πx
=
	sin²^πx₂

	cos²π		(−1)²		1
limf(x) =		=		=		=1
	sin²^π₂		1²		1

x→1

26 gru 15:08

Dag: Widziałam,że byłeś na forum emotka

Wypadało przynajmniej podziękować ( więcej nie pomogę emotka

Powodzenia!

26 gru 15:40

Edek: ależ oczywiście, że dziękuję dag, gwiazdka i Eta bardzo mi pomogliście emotka

26 gru 15:48

Dag:

No to w nagrodę emotka

i) z de L^'Hospitala

	1
L^'(x)=
	x

M^"(x)= 1

	L^'(x)		1		1
lim		=		=		= e⁻¹
	M^'(x)		x		e

x→e

26 gru 16:11

Dag: j) też z de L^'Hospitala

	1
L^'(x) =
	1+cosx

	1
M^'(x)=
	1+cos3x

1+cosx = 2cos²^x₂ 1+cos3x= 2cos²^3x₂

	L^'(x)		1+cos3x		2cos²^3x₂
lim		=		=		=
	M^'(x)		1+cosx		2cos²^x₂

x →^π₂

	cos²³₄π		(−cos^π₄)²
=		=		= 1
	cos²^π₄		cos²^π₄

bo cos ³₄π= cos( π− ^π₄)= − cos^π₄

26 gru 16:25

Edek: wielkie dzięki, dag mógłbym jescze o coś spytać, bo mam zbadać istnienie granicy funkcji,np.

	2x²−1
lim(x→0)		i z lewostronnej jak i prawostronnej wychodzi mi ∞, a powinno −∞.
	x²

Mógłbyś rzucić na to oko? Z góry dzięki i tak emotka

26 gru 16:30

Dag:

	^π₂−x		^π₂−x
e) ( ^π₂−x)*tgx =		=
	¹_tgx		ctgx

teraz z de L^'Hospitala: L^'(x)= −1

	−1
M^'(x)=
	sin²x

to:

−1

lim

= sin2x = (1)2= 1

−1 
sin2x 

x →^π₂

26 gru 16:44

Dag:

dla x→0 i z lewej i z prawej strony wartości licznika są ujemne a mianownika dodatnie bo jest x²

	2x²−1
więc lim		= +∞ ( z lewej i prawej strony zera
	x²

26 gru 16:56

AS: Popróbuję i ja swoich sił − może coś z tego wyjdzie. a) √x = t , x = t² , gdy x → 1 t → 1

	t⁴ − t		t*(t³ − 1)		t(t−1)(t²+t+1)
lim(t→1)		= lim(t→1)		= lim(t→1)		=
	t − 1		t − 1		t−1

lim(t→1)t*(t² + t + 1) = 1*(1² + 1 + 1) = 3

	√x+16 − 4		(√x+16−4)*(√x+16+4)
b) lim(x→0+)		= lim(x→0+)		=
	x²		x²*(√x+16+4)

	x + 16 − 16		1
lim(x→0+)		= lim(x→0+)		=
	x²*(√x+16 + 4)		x*(√x+16+4)

U{1}{0*8) = +∞ Podobnie dla x→0− wynik −∞

1 + cos(πx)

2*cos2(πx/2)

c) lim(x→1)

 = lim(x→1)

=

tg2(πx)

sin2(πx) 
cos2(πx) 

	2cos²(πx/2)cos²(πx)
lim(x→1)		=
	4sin²(πx/2)cos²(πx/2)

	2*cos²(πx)		2*1		1
lim(x→1)		=		=
	4*sin²(πx/2)		4*1		2

	1 − cosx		2*sin²(x/2)
d) lim(x→0)		= lim(x→0)		=
	x²		x²

	2sin(x/2)sin(x/2)		211		1
lim(x→0)		=		=
	4(x/2)(x/2)		4		2

e) lim(x→π/2)(π/2 − x)*tgx = lim(x→π/2)(π/2 − x)*ctg(π/2 − x) =

(π/2−x)*cos(π/2−x)

cos(π/2−x)

 lim(x→π/2)

 = lim(x→π/2)

=

sin(π/2−x)

sin(π/2−x) 
π/2−x 

	1
		= 1
	1

	tgx − sinx		sinx/cosx − sinx
f) lim(x→0)		= lim(x→0)		=
	x²		x²

	sinx*(1 − cosx)
lim(x→0)		=
	x²*cosx

	2*sin²(x/2)		sin(x/2)*sin(x/2)
lim(x→0)tgx*		= lim(x→0)2tgx		=
	x²		4(x/2)(x/2)

201*1
	= 0
4

g) reguła L'Hospitala

	sin(x − π/6)		cos(x − π /6)		1
lim(x→π/6)		= lim(x→π/6)		=		= 2
	2^p{3} − cosx		sinx		1/2

26 gru 20:22

Edek: chłopaki wielkie dzięki naprawdę emotka

, ale mógłbym jescze prosić w jednym o pomoc. Jak wcześniej pisałem mam do zbadania jescze istnienie podanych granic, no i niezbyt mi to idzie

	1
a) lim(x→2)		w tym przypadku wyszło mi 2⁻ −∞ dla 2⁺ +∞
	x−2

	2x²−1
b) lim(x→0)		tutaj mam 0⁻ −∞ dla 0⁺ +∞ chodź ten przykład robil już Dag i
	x²

wyszło −∞ tak jak powinno, to dalej nierozumiem

	1
c) lim(x→−3)		w tym w obu wyszło ∞
	(x+3)²

d) lim(x→0) 2 do potęgi ¹_x brak pomysłów

e) lim(x→1) e do potęgi¹_x−1 tu także niewiem jak się za to zabrać

	x+\|x\|
f) lim(x→0)		dla 0⁻ 0? a dla 0⁺ +∞
	2x

	1
g) lim(x→0)		−__−
	1+e do potęgi ¹_x

	(x³−1)\|x\|
h) lim(x→0)		tutaj coś kombinowałem, ale się zamotałem
	x

więc gdyby ktoś wiedział jak to zrobić to proszę przynajmniej na naprowadzenie emotka

I tak naprawdę dzięki, że chcecie pomóc emotka

26 gru 21:10

Dag: h) dla x >0 czyli x→0₊ mamy:

	(x³ −1)*x
lim		= x³ −1 = −1
	x

dla x <0 czyli x →0₋ mamy:

	(x³−1)*(−x)
lim		= −x³ +1 = +1
	x

podobnie przykład: f) dla x>0 czyli x →0₊

	x +x		2x
lim		=		= 1
	2x		2x

dla x <0 czyli x →0₋

	x −x		0
lim		=		= 0
	2x		2x

26 gru 21:29

AS: anuluję rozw. zad. g − jest błędne g) rozw.poprawne

	sin(x − π/6)		sin0
lim(x→π/6)		=		= 0
	2^√3 − cosx		2^√3 − √3/2

h) A = sinx^tgx

	ln(sinx)
lnA = tgx*ln(sinx) =
	ctgx

Stosuję regułę L,Hospitala

1 
*cosx
sinx 

lnA = 

 = −sinx*cosx

−1 
sin2x 

dla x→π/2 lnA → −sin(π/2)*cos(π/2) = −1*0 = 0 Stąd A = e⁰ = 1

	lnx − 1
i) lim(x→e)		= stosuję regułę L,Hospitala
	x − e

	1/x		1
lim(x→e)		=
	1		e

	ln(1 + cosx)
j) lim(x→π/2)		= stosuję regułę L,Hospitala
	ln(1 + cos3x)

] 
*(−sinx)
1 + cosx 

lim(x→π/2)

=

1 
*(−sin3x)*3
1 + cos3x 

	−sinx		1 + cos3x
lim(x→π/2)		*		=
	1 + cosx		−3*sin3x

	1		sinx		2*cos²(3x/2)
lim(x→π/2)		*		*		=
	3		sin(3x)		2*cos²(x/2)

1		1		(−√2/2)²		−1
	*		*		=
3		−1		(√2/2)²		3

27 gru 09:54

mtr: Witam, podłącze się pod temat, mam nadzieję, że Edek się nie obrazi emotka

Mam kilka zadań na obliczanie granic funkcji, w 1 i 4 wystarczy mi sama odp. do (nie)potwierdzenia wyniku, w 5 odp. jest oczywista, ale droga do jej uzyskania dla mnie juz nie.

	e^2x − 1
1) lim(x→0)		=
	sinx

	lnsinx
2)lim(x→0)		=
	lnsin5x

	arctg2x
3) lim(x→0)		=
	arcsin5x

	e^x − e^−x
4) lim(x→0)		=
	sinx

	1
5 lim(x→0) (1 +		)^x =
	x

27 gru 12:03

AS: Otrzymałem takie wyniki 1) 2 2) 1 3) 2/5 4) 2

27 gru 12:32

Edek:

e2x−1 
*2x
2x 

2x

1)lim(x→0) = 

=

 → 2

sinx 
*x
x 

x

arctg2x 
*2x
2x 

2x

3)lim(x→0) = 

=

 → 25

sin5x 
*5x
5x 

5x

ex−1 e−x−1 
*x+1−[
*(−x)+1]
x −x 

x+1+x−1

4)lim(x→0) = 

=

=

sinx 
*x
x 

x

	2x
=		→ 2
	x

5)lim(x→0) = e ? co do piątego niejestem pewien a nad 2 pomyślę emotka

27 gru 12:40

mtr: Dzięki za rozwiązania, tak szybko się nie spodziewałem emotka

W 5 odpowiedzią jest e. Będę wdzięczny za rozpisanie jeszcze drugiego przykładu.

27 gru 14:32

mtr: Aha, czy mógłby ktoś powyższe przykłady rozwiązać stosując regułę L'Hospitala pokazując całą drogę do rozwiązania. Z wyjątkiem 1, bo tam wyniki mi się potwierdziły. W 3 też wyszło mi 2/5, ale nie wiem, czy to nie przypadek emotka

27 gru 14:47

AS: zad. 1

	e^2x − 1		2*e^2x		2*e⁰		2*1
lim(x→0)		=		=		=		= 2
	sinx		cosx		cos0		1

Zad.2

lnsinx

1 
*cosx
sinx 

lim(x→0)

 = lim(x→0)

=

lnsin5x

1 
*5cos5x
sin5x 

	cosx		sin5x		1		cosx		sin5x
lim(x→0)		*		= lim(x→0)		*		*		=
	sinx		5cos5x		5		cos5x		sinx

1

cosx

sin5x 
5x 

lim(x→0)

*

*

=

5

cos5x

sinx 
5x 

1

cosx

sin5x

x

1

1

lim(x→0)

*

*

*5*

=

*

*1*5*1 = 1

5

cos5x

5x

sinx

5

1

Zad.3

arctg2x

1 
*2
1 + (2x)2 

lim(x→0)

=

=

arcsin5x

1 
*5
√1−(5x)2 

	2		1		√1−25x²		2
lim(x→0)		*		*		=
	5		1 + 4x²		1		5

Zad.4

	e^x − e^−x		e^x − e^−x*(−1)
lim(x→0)		= lim(x→0)		=
	sinx		cosx

	e^x + e^−x		1 + 1
lim(x→0)		=		= 2
	cosx		1

27 gru 16:34

Edek:

	π
małe pytanie. Ile wynosi pochodna z ctg
	2

−1

−1

mi wyszło 

 a w odp. jest 

 π 
sin2
 2 

 π 
2sin2
 2 

mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

27 gru 19:32

AS: ctg(π/2) = 0 i jest wartością stałą i pochodna jest = 0

27 gru 19:37

mtr: Wielkie dzieki emotka

29 gru 15:56

AS:

	π
Mam wrażenie,że chodziło o pochodną funkcji f(x) = ctg		*x
	2

Wtedy

	−1		1
f'(x) =		*
	sin²(π/2)*x		2

29 gru 17:10

AS: Poprawka

	−1		π
f'(x) =		*
	sin²(π/2)*x		2

29 gru 18:13

Edek: no właśnie w zadaniu mam ctg^π₂ i niewiem co dalej

29 gru 19:38

AS: Rozważ dwa przypadki.

29 gru 19:58

mz: Proszę o pomoc w tym przykładzie lim(x→1)(1+sinπx)^ctgπx

14 lis 18:39